Luogu P5089 [eJOI2018] 元素周期表 题解

$\text{Preface}$

（从洛谷博客搬过来的）

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题解

这道题嘛..主要还是找性质推规律。

拿到题，第一眼：噢噢爆搜啊。

第二眼：噢噢贪心啊。

第三眼：很好贪心假了。然后苦思冥想半个小时去看题解。

看到兔队的题解直接蚌了。二分图？

仔细思考了一下也是。$x\text{、}y$ 坐标显然可以分成两个没有直接边相连的集合，而我们要做的就是将给出的点的 $x\text{、}y$ 坐标连边，找规律。

考虑这样一张图。

# * * *
# # * *
* * * #

(#是已有的元素，*是空)

画成二分图是这样的：

然后我们把能够拓展的点都合成一下，变成了这样：

# # * *
# # * *
* * * #

再画一下二分图：

发现了一个小规律。就是说能够拓展的点加入后对原图的连通性不产生影响，不过似乎这个规律并不是我们想要找的最终规律，我们且称这个规律为规律一。

那么继续探索。

如果我们在 $row_3$ 和 $column_2$ 之间连一条边，也就是买一个元素 $(3,2)$，图会变成这样：

# # * *
# # * *
* # * #

拓展一下变成：

# # * #
# # * #
# # * #

如果只画给出的点和新买的点，二分图为：

如果画上新拓展的点，二分图变为：

然后发现了规律：如果某一行和某一列是联通的(不一定直接有边相连)，那么他们之间就将会有边直接相连。

考虑这个规律的实际意义。

有边直接相连就代表着这个点 $(row_i,column_j)$ 在图中是已经获得的元素。那么如果整张图是联通的，那是不是意味着所有的点就都是已经获得的元素？！

确实如此。那么称这个规律为规律二，这就是我们想要找的最终规律。

那么我们想要的答案就是使得原图变为一个连通图的最小连边数，也就是联通分量数$-1$。

至此此题就基本做完了。首先按照规律一，我们无需多余地去拓展，只需要将给出的点进行建边。建好边后直接求一下联通分量个数就好了。

PS：其实没必要把边建出来，直接用一个并查集维护即可。

#include <iostream>
#define GMY (520&1314)
#define FBI_OPENTHEDOOR(x) freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout);
#define re register int
#define char_phi signed
#define N 200005
using namespace std;
inline void Fastio_setup(){ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);}
int n, m, num, jia, final_ans;
int fa[N<<1];
int find(int x){return ((fa[x] == x) ? (x) : (fa[x] = find(fa[x])));}
inline void work(){
	cin >> n >> m >> num; jia = n;
	for (re i = 1 ; i <= n+m ; ++ i)
		fa[i] = i;
	for (re i = 1, x, y ; i <= num ; ++ i){
		cin >> x >> y;
		x = find(x), y = find(y+jia);
		fa[x] = y;
	}
	for (re i = 1 ; i <= n+m ; ++ i)
		if (fa[i] == i)
			final_ans ++;
	cout << final_ans-1 << endl;
}
// #define IXINGMY
char_phi main(){
	#ifdef IXINGMY
		FBI_OPENTHEDOOR(a);
	#endif
	Fastio_setup();
	work();
	return GMY;
}