2022.9.22———HZOI【CSP-S模拟9】YO寄

$Preface$

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$AtCoder$ 的题好像是

今天 $T3$ 的随只因化（暗藏玄只因）爆零了，赛后很难受，总共只得到了 $19$ 分的好成绩

$Rank38/42$

$19pts+0pts+0pts+0pts = 19pts$

下午讲题发现意外的听懂了，并且发觉怎么这么水，我真是个 $shab$

当然 $Sakura$ 讲的没听懂(

T1 最长上升子序列， T2 独特序列， T3 最大GCD， T4连续子段

$\mathfrak{T1}\ 最长上升子序列$

一道 $shab$ 构造题

首先把不是a[i]的扔到队列里，注意是升序

然后从 $1到K-1$ 贪心地使字典序最小，当然要先加入a[i]再贪心，为了使得a[]就是最后的 $LIS$ ，要满足要加入的一个q[L]小于a[i]。因为如果大于的话如果他比a[i+1]要小，那么就使得 $LIS$ 更长了，如果比a[i+1]要大，那么显然不满足字典序最小的要求。不存在等于的情况(废话)。

最后要对a[K]进行一下特殊判断，因为a[K]并不一定等于 $n$ ，这也是我赛事 $shab$ 挂成 $19pts$ 的原因。

如果a[K]比队尾大，那么显然直接让队尾到队头降序扔到a[K]的后面就行了。
如果a[K]比队尾小，那么如果直接再按刚才的降序直接扔，显然 $LIS$ 会变长，所以让队尾到队列中第一个比a[K]大的数都降序扔到a[K]的前面，剩下的再扔到a[K]的后面就行了。

#include <iostream>
#define GMY (520&1314)
#define FBI_OPENTHEDOOR(x) freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout);
#define re register int
#define char_phi signed
#define DMARK cerr << "###"
#define _ ' '
#define Endl cout << '\n'
#define Dendl cerr << '\n'
#define MIN(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y))
#define MAX(x, y) (((x) > (y)) ? (x) : (y))
#define N 200005
using namespace std;
inline void Fastio_setup(){ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);}
int n, K, L, R;
char is[N];
int a[N], ans[N], q[N];
void work(){
	cin >> n >> K;
	for (re i = 1 ; i <= K ; ++ i)
		{cin >> a[i]; is[a[i]] = true;}
	L = 0, R = -1;
	for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		if (is[i] == false)
			q[++ R] = i;
	for (re i = 1 ; i <= K-1 ; ++ i){
		ans[++ ans[0]] = a[i];
		if (q[L] < a[i] and L <= R)
			ans[++ ans[0]] = q[L ++];
	}
	/*for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		cout << ans[i] << _;
	Endl;*/
	if (a[K] < n)
		while (q[R] > a[K] and L <= R)
			ans[++ ans[0]] = q[R --];
	ans[++ ans[0]] = a[K];
	/*for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		cout << ans[i] << _;
	Endl;*/
	while (L <= R)
		ans[++ ans[0]] = q[R --];
	for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		cout << ans[i] << _;
	Endl;
}
// #define IXINGMY
char_phi main(){
	#ifdef IXINGMY
		FBI_OPENTHEDOOR(a);
	#endif
	Fastio_setup();
	work();
	return GMY;
}

$\mathfrak{T2}\ 独特序列$

一个简单的一维 $dp$ 。

设 $f_i$ 为转移到 $i$ ，并且必选 $i$ 的方案数，初始值 $f[1] = 1$ 。

考虑如何转移。

考虑这样一个数列:

4 6 3 1 2 3 5 4

$4\ 6\ 3\ 1\ 2\ 3\ 5\ 4$

在搞到第二个 $3$ 的时候， $f$ 值只能由上一个 $3$ 到当前位置转移，用柿子表达出来就是

f_{i} = \sum_{j = l a s t_{a_{i}}}^{i - 1} f_{j}

$f_i = \sum_{j = last_{a_i}}^{i-1}{f_j}$

$last$ 就是上一个的意思。

考虑为什么从 $1$ 到 $last_{a_i}-1$ 不转移。

从 $1$ 到 $last_{a_i}$ 的方案，对于再添上一个 $last_{a_i}$ 而言和添上一个 $a_i$ 而言是等同的，因为 $last_{a_i}$ 就和 $a_i$ 一样嘛只不过位置不同，但是这样一来就不满足唯一性了。

就比如序列 $3\ 6$ 是合法的(转移到目前而言)，归属于 $f_2$ ；而 $4\ 6\ 3$ 是不合法的，因为转移到目前发现有超过一个的 $3$ 。

考虑为什么要转移 $f_{last_{a_i}}$ 。

对于序列 $3$ ，本身不合法，但是当转移的时候要填上他，因为序列 $3\ 3$ 是合法的。

但是转移完之后 $f_{last_{a_i}}$ 要删去，因为向 $4\ 6\ 3$ 这样的序列是不合法的。

最后求一个前缀和就行了，可以用树状数组维护。

#include <iostream>
#define GMY (520&1314)
#define FBI_OPENTHEDOOR(x) freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout);
#define re register int
#define char_phi signed
#define DMARK cerr << "###"
#define _ ' '
#define Endl cout << '\n'
#define Dendl cerr << '\n'
#define MIN(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y))
#define MAX(x, y) (((x) > (y)) ? (x) : (y))
#define N 200005
#define P 998244353
#define mod %
using namespace std;
inline void Fastio_setup(){ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);}
/*
	一维dp是吧
	我想想，树状数组
	树状数组
	好久不用了
	一维dp
	哎哎，我啥时候能学会dp
	flag:学完线性筛就去打背包dp
*/
long long n;
long long a[N], f[N], plc[N], C[N<<2];// 树状数组要开多大来着
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
inline void Update(long long k, long long ed, long long w){
	while (k <= ed){
		C[k] = (C[k] + w + P) mod P;
		k += lowbit(k);
	}
}
inline long long Query(long long k){
	long long res(0);
	while (k != 0){
		res += C[k];
		if (res >= P)
			res -= P;
		k -= lowbit(k);
	}
	return res;
}
inline void work(){
	cin >> n;
	for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		cin >> a[i];
	/*for (re i = 2 ; i <= n ; ++ i){
		f[i] = 1;
		if (plc[i] != 0)
			Update(1, n, -f[plc[i]]);
		f[i] += Query(i);
		if (f[i] >= P)
			f[i] -= P;
		Update(
	}*/
	f[1] = 1; plc[a[1]] = 1; Update(1, n, 1);
	for (re i = 2 ; i <= n ; ++ i){
		f[i] = Query(i-1);
		if (plc[a[i]] != 0){
			f[i] = (f[i] - Query(plc[a[i]]-1) + P) mod P;
			Update(plc[a[i]], n, -f[plc[a[i]]]);
		}
		else 
			f[i] ++;
		if (f[i] >= P)
			f[i] -= P;
		plc[a[i]] = i;
		Update(i, n, f[i]);
	}
	cout << Query(n) << '\n';
}
// #define IXINGMY
char_phi main(){
	#ifdef IXINGMY
		FBI_OPENTHEDOOR(a);
	#endif
	Fastio_setup();
	work();
	return GMY;
}

$\mathfrak{T3}\ 最大GCD$

这个题我上来一眼丁真认定为场切题 $O(nlogn)$ ，发颠分解了个质因数发现 $P$ 用没有，之后又尝试二分 $gcd$ 发现假了，然后就搞了随只因化

然后喜提 $0pts$ 。

乐

正解很简单，分两种情况

设 $mx$ 为 $a_i$ 中最大值

若 $K >= \sum_{i=1}^{n} {mx-a_i}:$

显然要先让所有的 $a_i$ 达到 $mx$ ，此时 $gcd$ 就是 $mx$ ，然后贪心地使 $gcd$ 不断 $+1$ 并判断当前 $K$ 值能否达到。

可以直接写成一个柿子dsu

设 $fst$ 为所有 $a_i$ 达到 $mx$ 所需要的和，那么最后答案即为 $mx + \lfloor\frac{K-fst}{n}\rfloor$ 。

这玩意不难理解吧， $mx$ 已经是基础了，所有 $a_i$ 的值都是 $mx$ 了这时候所有 $a_i$ 同时 $+1$ 他们的 $gcd$ 也就会同时 $+1$ ，也就是那个柿子

若 $K < \sum_{i=1}^{n} {mx-a_i}:$

这就有意思了

考虑枚举他们的公共因子 $factor$ 。那么如果让每个 $a_i$ 拥有该因子，根据显然的贪心策略，每个 $a_i$ 肯定是变成比他大的第一个的 $factor$ 的倍数。

那么达到该状态所需要消耗的+1次数就是 $:$

\sum_{i = 1}^{n} ⌈ \frac{a i}{f a c t o r} ⌉ \times f a c t o r - a_{i}

$\sum_{i=1}^{n}{\lceil\frac{ai}{factor}\rceil \times factor - a_i}$

这样做是 $n^2$ 的。

考虑如何优化。

我们可以把 $a_i$ 升序排序一下，然后枚举 $\lceil\frac{ai}{factor}\rceil$ 也就是 $factor$ 的倍数，二分找到他应该在 $a$ 数组中的位置，减去上一个倍数所在位置，然后直接累加。根据调和级数这样做是只带一个 $log$ 的。

所以就拆掉了一个 $n$ 变成了 $logn$ 。总时间复杂度为 $O(nlogn)$ ( $n$ 与值域同阶)。

然后可以拆一下原柿子，就直接把 $\sum_{i=1}^{n}{a_i}$ 拆出来，也就是求一下 $a_i$ 的总和，不用在刚才二分的过程中减来减去，最后直接减就完了。

然后这题就做完了，总体思路十分简单，代码实现也不难，确实可以算是场切题

但是我这个 $shab$ 赛时怎么就没想到。。。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define GMY (520&1314)
#define FBI_OPENTHEDOOR(x) freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout);
#define re register int
#define char_phi signed
#define DMARK cerr << "###"
#define _ ' '
#define Endl cout << '\n'
#define Dendl cerr << '\n'
#define MIN(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y))
#define MAX(x, y) (((x) > (y)) ? (x) : (y))
#define N 300005
using namespace std;
inline void Fastio_setup(){ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);}
/*
	枚举倍数
	调和级数
	蛮巨的
	分两种情况，
	算了在草稿纸上胡了一遍就不在这里写了
*/
long long n, K, mx, first_step, sum, final_ans;
long long a[N];
inline void work(){
	cin >> n >> K;
	for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		{cin >> a[i]; mx = MAX(mx, a[i]); sum += a[i];}
	
	for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		first_step += (mx-a[i]);
	if (first_step <= K)
		{goto Another_Me;}
	
	sort(a+1, a+n+1);
	for (long long factor = mx, plc, res, ed, lst ; factor >= 1 ; -- factor){
		res = -sum; ed = ceil((double)mx / factor); lst = 0;
		for (long long bs = 1 ; bs <= ed ; ++ bs){
			plc = upper_bound(a+1, a+n+1, bs*factor) - a - 1;
			res += bs * factor * (plc-lst);
			// cerr << factor << _ << lst << _ << plc << _ << bs << _ << res << '\n';
			lst = plc;
		}
		// cerr << '\n' << '\n';
		if (res <= K)
			{final_ans = factor; break;}
	}
	cout << final_ans << '\n';
	return ;
	Another_Me:{
		final_ans = mx + (K-first_step)/n;
		cout << final_ans << '\n';
	}
}
// #define IXINGMY
char_phi main(){
	#ifdef IXINGMY
		FBI_OPENTHEDOOR(a);
	#endif
	Fastio_setup();
	work();
	return GMY;
}

$\mathfrak{T4}\ 连续子段$

~~(其实我也不是特别明白)~~

~~(开始大量转发)~~

观察K的数据范围不难想到状压。
设 $dp_s$ 为选到的数的集合为 $s$ 的最少移动次数。
先预处理一下每个状态选了几个数（有多少个 $1$ ）。
转移的话就是看看这个数有没有在集合里：如果不在，就加上这个数所移动的步数（逆序对数）。
每种集合还要加上集合向右平移的步数或者让还没有选的数集体向左平移，二者取 $min$ 。
———迪神

#include <iostream>
#include <cstring>
#define GMY (520&1314)
#define FBI_OPENTHEDOOR(x) freopen(#x ".in", "r", stdin), freopen(#x ".out", "w", stdout);
#define re register int
#define char_phi signed
#define DMARK cerr << "###"
#define _ ' '
#define Endl cout << '\n'
#define Dendl cerr << '\n'
#define MIN(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y))
#define MAX(x, y) (((x) > (y)) ? (x) : (y))
#define N 300005
using namespace std;
inline void Fastio_setup(){ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);}
int n, K, S;
int a[N], f[(1<<16) + 5], cnt[(1<<16) + 5];
/*
	“浮华的二进制。”
*/
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
inline void work(){
	cin >> n >> K; S = (1 << K) - 1;
	for (re i = 1 ; i <= n ; ++ i)
		cin >> a[i];
	for (re i = 0, x ; i <= S ; ++ i){
		x = i;
		while (x != 0)
			cnt[i] ++, x ^= lowbit(x);
	}
	/*Dendl;
	for (re i = 0 ; i <= S ; ++ i)
		cerr << cnt[i] << _;
	Dendl;*/
	memset(f, 0x5f, sizeof(f));
	f[0] = 0;
	for (re i = 1, x ; i <= n ; ++ i){
		x = 1 << (a[i]-1);
		for (re s = S ; s >= 0 ; -- s){
			f[s|x] = MIN(f[s|x], f[s] + cnt[s&(-x)]);
			f[s] += MIN(cnt[s], K-cnt[s]);
		}
		// cerr << f[S] << '\n';
	}
	cout << f[S] << endl;
}
// #define IXINGMY
char_phi main(){
	#ifdef IXINGMY
		FBI_OPENTHEDOOR(a);
	#endif
	Fastio_setup();
	work();
	return GMY;
}

$Postscript$

(图我给扔到酰铧里了)

posted @ 2022-09-22 20:03 char_phi 阅读(46) 评论(6) 编辑收藏举报

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T2 独特序列T2 独特序列\mathfrak{T2}\ 独特序列

T3 最大GCDT3 最大GCD\mathfrak{T3}\ 最大GCD

若K>=∑ni=1mx−ai:K>=∑i=1nmx−ai:K >= \sum_{i=1}^{n} {mx-a_i}:

若K<∑ni=1mx−ai:K<∑i=1nmx−ai:K < \sum_{i=1}^{n} {mx-a_i}:

T4 连续子段T4 连续子段\mathfrak{T4}\ 连续子段

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