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支持向量机中的函数距离的理解

作者：Jason Gu
链接：https://www.zhihu.com/question/20466147/answer/28469993
来源：知乎
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SVM是通过超平面将样本分为两类。
在超平面 $w\cdot x+b=0$ 确定的情况下， $|w\cdot x+b|$ 可以相对地表示点 $x$ 距离超平面的远近。对于两类分类问题，如果 $w\cdot x+b>0$ ，则 $x$ 的类别被判定为1；否则判定为-1。

所以如果 $y(w\cdot x+b)>0$ ，则认为 $x$ 的分类结果是正确的，否则是错误的。且 $y(w\cdot x+b)$ 的值越大，分类结果的确信度越大。反之亦然。

所以样本点 $(x_{i}, y_{i})$ 与超平面 $(w, b)$ 之间的函数间隔定义为
$\gamma_{i} = y_{i} (w\cdot x_{i} + b)$

但是该定义存在问题：即 $w$ 和 $b$ 同时缩小或放大M倍后，超平面并没有变化，但是函数间隔却变化了。所以，需要将 $w$ 的大小固定，如 $||w||=1$ ，使得函数间隔固定。这时的间隔也就是几何间隔。

几何间隔的定义如下
$\gamma_{i} = y_{i} (\frac{w}{||w||}\cdot x_{i} + \frac{b}{||w||})$

实际上，几何间隔就是点到超平面的距离。想像下中学学习的点 $(x_i, y_i)$ 到直线 $ax+by+c=0$ 的距离公式
$d(x_i, y_i) = \frac{|ax_i+by_i+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
所以在二维空间中，几何间隔就是点到直线的距离。在三维及以上空间中，就是点到超平面的距离。而函数距离，就是上述距离公式中的分子，即未归一化的距离。

定义训练集到超平面的最小几何间隔是
$\gamma = min_{i=1,...,n} \gamma_{i}$

SVM训练分类器的方法是寻找到超平面，使正负样本在超平面的两侧，且样本到超平面的几何间隔最大。
所以SVM可以表述为求解下列优化问题
$\underset{w, b}{max} \;\;\;\;\;\; \gamma$
$s.t. \;\;\; y_{i} (\frac{w}{||w||}\cdot x_{i} + \frac{b}{||w||})\geq \gamma$