高维前缀和（SoSDP）详解及例题（HDU5765）
[toc]
高维前缀和
问题：求n个位的子集或超集上的函数和。例如，\(n=4\)，集合$mask=1010$（二进制位串表示，下同），$mask$的子集和是$f(0000) + f(0010) + f(1000) + f(1010)$，超集和是$f(1010) + f(1011) + f(1110) + f(1111)$。
解读一下问题先：
- 这个问题可看成是一维部分和、二维部分和在$n$维布尔空间上的推广。
- 许多应用需要求子集或超集的个数，这相当于$f$函数是常函数$f(x)=1$的情况。
可用$n2^n$种状态求$n$个位的子集或超集上的函数和，称为SoSDP（Sum of Subset DP）。做法是从最低位开始枚举每一位，再枚举每个数（集合），如果这个数在这一位存在真子集或真超集，就加上这个真子集或真超集的函数和。
以求子集和为例，设$dp_{m,i}(0\le m \le 2n-1，0\le i\le n-1)$表示$m$集合上仅第$0-i$位允许不同的所有子集的函数和。若$i=2，m=1101$，$m$的第2位是1，说明这一位存在真子集$1001$，故$dp_{1101,2} = dp_{1101,1}+dp_{1001,1}$，表示是前一$i$状态的两个$dp$之和，一个$dp$是第$i$位为$1$的子集函数和，另一个$dp$是第$i$位为$0$的子集函数和。相较之下，若$m=1001$，则$dp_{1001,2} = dp_{1001,1}$，表示与前一$i$状态一样。这就是高维前缀和从状态$i-1$转到状态$i$的处理办法。问题最终所求是$dp_{mask,n-1}$。
因为$i$状态的计算仅依赖于$i-1$状态，状态空间可以使用滚动数组并就地更新，压缩到$i$方向只需一行。代码如下:
for (int m = 0; m < (1 << n); m++)
dp[m] = f(m);
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int m = 0; m < (1 << n); m++)
if (m & (1 << i))
dp[m] += dp[m & ~(1 << i)];
HDU5765
题意： 求无向图所有最小割中每条边的出现次数。
题解： 每个最小割将图分为两个连通块。每个连通块（连通的顶点子集生成子图），若其剩余图（顶点补集的生成子图）也是一个连通块，则两个连通块间的边组成一个最小割，所以枚举所有的连通块能统计出所求次数。需要完成两项任务：
- 任意一个顶点子集是否生成连通块？
- 已知最小割，如何统计连接两个连通块间的边？
第1项任务用并查集判断每个子集的连通性，计算复杂性是$O(m2n)= O(n22n)$，会超时。状压DP可以提高效率至$O(n2n)$，用二进制位串表示顶点子集。若顶点$i$不在顶点子集$S$，且与$S$中某个点有边，则$S\cup$也是连通块。据此进行状态转移。
第2项任务如果枚举最小割的每条边，计算复杂性也会高达$O(n22n)\(。逆向思维一下，一条边不在最小割的次数如果知道，最小割的总数减去这个次数就是答案。那么边\)(u,v)\(不在最小割有多少次？这个问题等价于在最小割形成的连通块集合中统计\)(u,v)$的超集个数，高维前缀和的SoSDP能$O(n2^n)$时间内解决。具体用$dp_{s,b}$表示限第$0-b$点可变的$s$的超集个数，对所有能由最小割形成的连通块，置初值$dp_{s,-1}=1$。然后使用状态转移方程：
$$dp_{s,b}=\begin
dp_{s,b-1}\qquad b\in s\
dp_{s,b-1}+dp_{s\cup {b},b-1}\qquad b\notin s
\end
