第4章-变换-4.3-四元数

4.3 四元数

尽管四元数早在1843年就由William Rowan Hamilton爵士发明,作为复数的扩展,但直到1985年Shoemake[1633]才将它们引入计算机图形领域1。四元数用于表示旋转和方位。它们在几个方面都优于欧拉角和矩阵。任何三维方向都可以表示为围绕特定轴的单次旋转。给定轴和角度表示,与四元数转换相互转换很简单,然后任一方向的欧拉角转换则具有挑战性。四元数可用于稳定和恒定的方向插值,这是欧拉角无法很好完成的。

复数有实部和虚部。每个复数由两个实数表示,第二个实数乘以1。同样,四元数有四个部分。前三个值与旋转轴密切相关,旋转角度影响所有四个部分(更多可参考第4.3.2节)。每个四元数由四个实数表示,每个实数与不同的部分相关联。由于四元数有四个分量,我们选择将它们表示为向量,但为了区分它们,我们给它们戴上帽子:qq^。我们从四元数的一些数学背景开始,然后用它来构造各种有用的转换。

4.3.1 数学背景

我们从四元数的定义开始。

定义:四元数qq^可以通过以下方式定义,都是等价的。

(4.31)qq^=(qqv,qw)=iqx+jqy+kqz+qw=qqv+qw,qqv=iqx+jqy+kqz=(qx,qy,qz),i2=j2=k2=1,jk=kj=i,ki=ik=j,ij=ji=k.

变量qw称为四元数qq^的实部。虚部是qqv,而ijk称为虚数单位。

对于虚部qqv,我们可以使用所有法向量运算,例如加法、缩放、点积、叉积等。使用四元数的定义,推导出两个四元数qq^rr^之间的乘法运算,如下所示。请注意,虚数单位的乘法是不可交换的。

(4.32)::qq^rr^=(iqx+jqy+kqz+qw)(irx+jry+krz+rw)=i(qyrzqzry+rwqx+qwrx)+j(qzrxqxrz+rwqy+qwry)+k(qxryqyrx+rwqz+qwrz)+qwrwqxrxqyryqzrz=(qqv×rrv+rwqqv+qwrrv,qwrwqqvrrv)

从这个方程可以看出,我们同时使用叉积和点积来计算两个四元数的乘法。

除了四元数的定义,还需要加法、共轭、范数和单位元素的定义:

(4.33)::qq^+rr^=(qqv,qw)+(rrv,rw)=(qqv+rrv,qw+rw)::qq^=(qqv,qw)=(qqv,qw)::n(qq^)=qq^qq^=qq^qq^=qqvqqv+qw2=qx2+qy2+qz2+qw2::ii^=(00,1)

n(qq^)=qq^qq^被简化时(结果如上所示),虚部抵消,只剩下实部。范数有时表示为||qq^|=n(qq^)[1105]。上面的结果是可以导出一个乘法逆,用qq^1表示。方程qq^1qq^=qq^1qq^=1对逆必须成立(这对于乘法逆是常见的)。我们从范数的定义推导出一个公式:

(4.34)n(qq^)2=qq^qq^qq^qq^n(qq^)2=1

这给出了乘法逆,如下所示:

::qq^1=1n(qq^)2qq^

逆的公式使用了标量乘法,可以从方程4.3.1中看到的乘法推导出这个运算:sqq^=(00,s)(qqv,qw)=(sqqv,sqw), 并且qq^s=(qqv,qw)(00,s)=(sqqv,sqw)。这意味着标量乘法是可交换的:sqq^=qq^s=(sqqv,sqw)

以下规则集合很容易从定义中推导出来:

(4.36)::(qq^)=qq^(qq^+rr^)=qq^+rr^(qq^rr^)=rr^qq^

(4.37)::n(qq^)=n(qq^)n(qq^rr^)=n(qq^)n(rr^)

(4.38)::线线pp^(sqq^+trr^)=spp^qq^+tpp^rr^(spp^+tqq^)rr^=spp^rr^+tqq^rr^pp^(qq^rr^)=(pp^qq^)rr^

单位四元数qq^=(qqv,qw)使得n(qq^)=1。由此可知qq^可写作:

(4.39)qq^=(sinϕuuq,cosϕ)=sinϕuuq+cosϕ

对于某个三维向量uuq,使得||uuq||=1,因为

(4.40)n(qq^)=n(sinϕuuq,cosϕ)=sin2ϕ(uuquuq)+cos2ϕ=sin2ϕ+cos2ϕ=1

当且仅当uuquuq=1=||uuq||2. 正如将在下一节中看到的,单位四元数非常适合以最有效的方式创建旋转和方向。但在此之前,会为单位四元数引入一些额外的操作。

对于复数,二维单位向量可以写成cosϕ+isinϕ=eiϕ。 四元数的等价物是

(4.41)qq^=sinϕuuq+cosϕ=eϕuuq

根据公式4.41,单位四元数的对数函数和幂函数为:

(4.42)::log(qq^)=log(eϕuuq)=ϕuuq::qq^t=(sinϕuuq+cosϕ)t=eϕtuuq=sin(ϕt)uuq+cos(ϕt)

4.3.2 四元数变换

我们现在将研究四元数集的一个子类,即单位长度的子类,称为单位四元数。关于单位四元数的最重要的事实是它们可以表示任何三维旋转,而且这种表示非常紧凑和简单。

现在我们将描述是什么使单位四元数对旋转和方向如此有用。首先,将点或向量的四个坐标pp=(px py pz pw)T代入四元数pp^的分量,并假设我们有一个单位四元数qq^=(sinϕuuq,cosϕ)。可以证明

(4.43)qq^pp^qq^1

pp^(以及点pp)绕轴uuq旋转角度2ϕ。注意,由于qq^是一个单位四元数,qq^1=qq^。参见图4.9。

Figure4.9

图4.9. 由单位四元数表示的旋转变换的图示,qq^=(sinϕuuq,cosϕ)。变换围绕轴uuq旋转 2ϕ弧度。

qq^的任何非零实数倍数也表示相同的变换,这意味着qq^qq^表示相同的旋转。也就是说,取反轴uuq和实部qw会创建一个与原始四元数完全一样旋转的四元数。这也意味着从矩阵中提取四元数可以返回qq^qq^

给定两个单位四元数qq^rr^,首先应用qq^再应用rr^到四元数pp^(可以解释为点pp)的级联由公式 4.44 给出:

(4.44)rr^(qq^pp^qq^)rr^=(rr^qq^)pp^(rr^qq^)=cc^pp^cc^

这里,cc^=rr^qq^是单位四元数,表示单位四元数qq^rr^的级联。

矩阵转换

由于经常需要将几种不同的变换组合起来,而且大部分都是矩阵形式,因此需要一种方法将式4.43转化为矩阵。四元数 qq^可以转换为矩阵MMq,如公式4.45[1633,1634]所示:

(4.45)MMq=(1s(qy2+qz2)s(qxqyqwqz)s(qxqz+qwqy)0s(qxqy+qwqz)1s(qx2+qz2)s(qyqzqwqx)0s(qxqzqwqy)s(qyqz+qwqx)1s(qx2+qy2)00001)

在这里,标量是s=2/(n(qq^))2。 对于单位四元数,上式可简化为:

(4.46)MMq=(12(qy2+qz2)2(qxqyqwqz)2(qxqz+qwqy)02(qxqy+qwqz)12(qx2+qz2)2(qyqzqwqx)02(qxqzqwqy)2(qyqz+qwqx)12(qx2+qy2)00001)

一旦构造了四元数,就不需要计算三角函数,因此转换过程在实践中很有效率。

从正交矩阵MMq到单位四元数qq^的逆转换要复杂一些。此过程的关键是与公式4.46中的矩阵的以下差异:

(4.47)m21qm12q=4qwqxm02qm20q=4qwqym10qm01q=4qwqz

这些方程的含义是,如果qw已知,则可以计算向量vvq的值,从而推导出qq^MMq的迹由下式计算:

(4.48)tr(MMq)=42s(qx2+qy2+qz2)=4(1qx2+qy2+qz2qx2+qy2+qz2+qw2)=4qw2qx2+qy2+qz2+qw2=4qw2(n(qq^))2

对于单位四元数来说,可得出以下转换:

(4.49)qw=12tr(MMq)qx=(m21qm12q)4qwqy=(m02qm20q)4qwqz=(m10qm01q)4qw

为了有一个数值稳定的程序[1634],小数除法应该被避免。因此,首先设置t=qw2qx2qy2qz2,由此得出:

(4.50)m00=t+2qx2m11=t+2qy2m22=t+2qz2u=m00+m11+m22=t+2qw2

这反过来意味着m00m11m22u中的最大值,确定了qxqyqzqw中最大的。如果qw最大,则使用公式4.49导出四元数。否则,我们注意到以下内容成立:

(4.51)4qx2=+m00m11m22+m334qy2=m00+m11m22+m334qz2=m00m11+m22+m334qw2=tr(MMq)

然后使用上述适当方程计算qxqyqz中的最大值,然后使用方程4.47计算qq^的其余分量。Schüler[1588]提出了一种无分支但使用四个平方根的变体。

球面线性插值

球面线性插值是一种运算,在给定两个单位四元数qq^rr^以及参数t[0,1]的情况下,计算插值四元数。例如,这对于动画对象很有用。它对于插值相机方向没有用,因为相机的“向上”矢量在插值过程中可能会倾斜,通常是一种干扰效果。

此运算的代数形式由复合四元数ss^表示,如下所示:

(4.52)ss^(qq^,rr^,t)=(rr^qq^1)tqq^

但是,对于软件实现,以下形式更合适,其中slerp代表球面线性插值:

(4.53)ss^(qq^,rr^,t)=slerp(qq^,rr^,t)=sin(ϕ(1t))sinϕqq^+sin(ϕt)sinϕrr^

为了计算这个方程所需的φ,可以使用以下式子:cosϕ=qxrx+qyry+qzrz+qwrw[325]。对于 t[0,1],slerp函数计算(唯一的2)插值四元数,它们共同构成四维单位球面上从qq^(t=0)rr^(t=1)的最短弧。圆弧位于由qq^,rr^和原点给出的平面与四维单位球面的交点形成的圆上。如图 4.10 所示。计算出的旋转四元数以恒定速度绕固定轴旋转。像这样的曲线具有恒定的速度,因此加速度为零,称为测地曲线[229]。过原点的平面与球面的交点在球面上形成一个大圆,这个圆的一部分称为大圆弧。

Figure4.10

图4.10. 单位四元数表示为单位球面上的点。函数slerp用于四元数之间的插值,插值的路径是球体上的一个大圆弧。请注意,从qq^1qq^2和从qq^1qq^3qq^2的插值不是一回事,即使它们到达相同的方向。

slerp函数非常适合在两个方位之间进行插值,并且有良好的效果(固定轴,恒速)。使用多个欧拉角进行插值时,情况并非如此。实际上,直接计算slerp是一项涉及调用三角函数的昂贵操作。Malysau[1114]讨论了将四元数集成到渲染管线中。他指出,当不使用slerp而只是在像素着色器中对四元数进行归一化时,对于90度角,三角形方向的误差最大为 4度。光栅化三角形时,此误差率是可以接受的。Li[1039, 1040]提供了更快的增量方法来计算slerps,并且不会牺牲任何准确性。Eberly[406]提出了一种仅使用加法和乘法计算slerps的快速技术。

当有两个以上的方向时,比如qq^0,qq^1,...,qq^n,并且我们想要从qq^0qq^1qq^2,依此类推直到qq^n1,可以直接使用slerp。现在,当我们接近qq^i时,我们将使用qq^i1qq^i作为 slerp 的参数。通过qq^i后,我们将使用qq^iqq^i+1作为 slerp 的参数。这将导致方向插值中出现突然的抖动,如图4.10所示。这类似于当点被线性插值时发生的情况;参见第720页图17.3的右上部分。有些读者可能希望在阅读第17章中的样条曲线后重新阅读以下段落。

更好的插值方法是使用某种样条。我们在qq^iqq^i+1之间引入了四元数aa^iaa^i+1。球面三次插值可以在四元数qq^iaa^iaa^i+1qq^i+1的集合内定义。令人惊讶的是,这些额外的四元数计算如下[404]3

(4.54)aa^i=qq^iexp[log(qq^i1qq^i1)+log(qq^i1qq^i+1)4]

通过三次样条平滑算法,qq^iaa^i用来对四元数进行球面插值,如公式4.55所示:

(4.55)squad(qq^i,qq^i+1,aa^i,aa^i+1,t)=slerp(slerp(qq^i,qq^i+1,t),slerp(aa^i,aa^i+1,t),2t(1t))

从上面可以看出,squad函数是使用slerp从同样的球面插值构建的(第17.1.1节有关点的重复线性插值的信息)。插值将通过初始方向qq^i,i[0,...,n1],但不通过aa^i——这些用于指示初始方向的切线方向。

从一个向量到另一个向量的旋转

一个常见的操作是通过尽可能最短的路径从一个方向ss转换到另一个方向tt。四元数的数学运算极大地简化了这个过程,并显示了四元数与这种表示的密切关系。首先,将sstt归一化。然后计算单位旋转轴,称为uu,计算为uu=(ss×tt)/||ss×tt||。 接下来,e=ss·tt=cos(2ϕ)||ss×tt||=sin(2ϕ),其中2ϕsstt之间的角度。表示从sstt的旋转的四元数是qq^=(sinϕuu,cosϕ)。事实上,使用半角关系和三角恒等式简化qq^=(sinϕsin2ϕ(ss×tt),cosϕ),可得出[1197]:

(4.56)qq^=(qqv,qw)=(12(1+e)(ss×tt),2(1+e)2)

以这种方式直接生成四元数(相对于标准化叉积ss×tt)避免了当sstt指向几乎相同的方向时的数值不稳定[1197]。当sstt指向相反的方向时,两种方法都会出现稳定性问题,因为发生了除以零的情况。当检测到这种特殊情况时,任何垂直于ss的旋转轴都可以用来旋转到tt

有时我们需要从sstt旋转的矩阵表示。在对等式4.46进行一些代数和三角简化后,旋转矩阵变为[1233]:

(4.57)RR(ss,tt)=(e+hvx2hvxvyvzhvxvz+vy0hvxvy+vze+hvy2hvyvzvx0hvxvzvyhvyvz+vxe+hvz200001)

在这个等式中,我们使用了以下中间计算:

(4.58)vv=ss×tte=cos(2ϕ)=sstth=1cos(2ϕ)sin2(2ϕ)=1evvvv=11+e

可以看出,由于简化,所有平方根和三角函数都消失了,因此这是创建矩阵的有效方法。请注意,公式4.57的结构类似于公式4.30的结构,并注意后一种形式如何不需要三角函数。

请注意,当sstt平行或接近平行时必须小心,因为这时||ss×tt||0。如果ϕ0,那么我们可以返回单位矩阵。然而,如果2ϕπ,那么我们可以绕任意轴旋转π弧度。该轴可以是ss和任何其他不平行于ss的向量的叉积(第4.2.4节)。Möller和Hughes使用Householder矩阵以不同的方式处理这种特殊情况[1233]。


1公平地说,Robinson[1502]在1958年使用四元数进行刚体模拟。
2当且仅当qq^rr^不相反。
3Shoemake[1633]给出了另一个推导。

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