平面中判断点在三角形内算法(重心法)
1. 概述
在文章《判断点是否在三角形内》中还提到了一种判断点在三角形内外的算法——重心法。这种算法同样用到了三角形的空间向量方程,但是值得注意的是,这种算法却只能判断平面中点在三角形的内外关系(已知空间向量方程,是可以判断三维空间关系的:空间中判断点在三角形内算法(方程法))。
2. 详论
2.1. 原理
重心法的推导过程与空间中判断点在三角形内算法(方程法))的推导过程比较相似。对于三个顶点为V0,V1,V2组成的空间三角形,对于三角形内的任一点P,有如下参数方程:
→P=(1−u−v)→V0+u→V1+v→V2→P=(1−u−v)→V0+u→V1+v→V2
变换位置,我们可以将其调整为:
→V0P=u(→V0V1)+v(→V0V2)→V0P=u(→V0V1)+v(→V0V2)
将上式分别点乘→V0V1→V0V1和→V0V2→V0V2,有:
{→V0P⋅→V0V1=u(→V0V1⋅→V0V1)+v(→V0V2⋅→V0V1)→V0P⋅→V0V2=u(→V0V1⋅→V0V2)+v(→V0V2⋅→V0V2)
很显然,这是个2行2列的线性方程组,通过克莱姆法则来求解:
{D=(→V0V1⋅→V0V1)∗(→V0V2⋅→V0V2)−(→V0V2⋅→V0V1)∗(→V0V1⋅→V0V2)D1=(→V0P⋅→V0V1)∗(→V0V2⋅→V0V2)−(→V0V2⋅→V0V1)∗(→V0P⋅→V0V2)D2=(→V0V1⋅→V0V1)∗(→V0P⋅→V0V2)−(→V0P⋅→V0V1)∗(→V0V1⋅→V0V2)
{u=D1/Dv=D2/D
2.2. 实现
详细的代码实现如下:
//空间三角形
//按照逆时针顺序插入值并计算法向量
template <class T>
class Triangle
{
public:
Vec3<T> v0;
Vec3<T> v1;
Vec3<T> v2;
Triangle()
{
}
Triangle(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
{
this->v0 = v0;
this->v1 = v1;
this->v2 = v2;
}
void Set(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
{
this->v0 = v0;
this->v1 = v1;
this->v2 = v2;
}
// 判断平面点P是否在平面三角形内(重心法)
bool PointInTriangle2D(Vec3<T>& P)
{
auto v01 = v1 - v0 ;
auto v02 = v2 - v0 ;
auto v0p = P - v0 ;
double dot00 = v01 * v01 ;
double dot01 = v01 * v02 ;
double dot02 = v01 * v0p ;
double dot11 = v02 * v02 ;
double dot12 = v02 * v0p ;
double D = (dot00 * dot11 - dot01 * dot01);
if(D == 0.0)
{
return false;
}
double inverDeno = 1 / D ;
double u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;
if (u < 0 || u > 1)
{
return false ;
}
double v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;
if (v < 0 || v > 1)
{
return false ;
}
return u + v <= 1 ;
}
};
2.3. 总结
本质上,这个算法与空间中判断点在三角形内算法(方程法)是同一种算法的不同推导,都是通过空间三角形中点的向量方程来求解的,但是是采用了不同的解法。不过为什么一个可以判断空间关系,一个只能判断平面关系呢?关键在于点是否能让向量方程成立,这个求解算法可以求解u,v,但没有保证空间内的向量方程能够成立。
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