已知空间三点组成的面求该面上某点的Z值

已知空间三点，那么可以就可以确定空间三点组成的平面。此时可以根据某一点的X值和Y值，来求取该点在平面上的Z值。这个过程对于求三角面片上某点的高程或者权值特别有用，其本身也可以看作一种线性插值。

其算法思路也特别简单，首先算出其三点组成的平面法向量（可参看《已知三点求平面法向量》）;然后根据平面法向量\(n=(A,B,C)\)和平面上某点\(m=(x0,y0,z0)\)，有平面的点法式方程:

\[A(X-x0)+B(Y-y0)+C(Z-z0)=0 \]

最后根据欲求点的X、Y值，代入公式解算Z值即可。

具体实现代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

//三维double矢量
struct Vec3d
{
	double x, y, z;

	Vec3d()
	{
		x = 0.0;
		y = 0.0;
		z = 0.0;
	}
	Vec3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
	void Set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}
};

//计算三点成面的法向量
void Cal_Normal_3D(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d &vn)
{
	//v1(n1,n2,n3);
	//平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
	double na = (v2.y - v1.y)*(v3.z - v1.z) - (v2.z - v1.z)*(v3.y - v1.y);
	double nb = (v2.z - v1.z)*(v3.x - v1.x) - (v2.x - v1.x)*(v3.z - v1.z);
	double nc = (v2.x - v1.x)*(v3.y - v1.y) - (v2.y - v1.y)*(v3.x - v1.x);

	//平面法向量
	vn.Set(na, nb, nc);
}

void CalPlanePointZ(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d& vp)
{
	Vec3d vn;
	Cal_Normal_3D(v1, v2, v3, vn);	

	if (vn.z != 0)				//如果平面平行Z轴
	{
		vp.z = v1.z - (vn.x * (vp.x - v1.x) + vn.y * (vp.y - v1.y)) / vn.z;			//点法式求解
	}	
}

int main()
{
	Vec3d v1(1.0, 5.2, 3.7);
	Vec3d v2(2.8, 3.9, 4.5);
	Vec3d v3(7.6, 8.4, 6.2);
	Vec3d vp;
	vp.x = 5.6;
	vp.y = 6.4;
	vp.z = 0.0;

	CalPlanePointZ(v1, v2, v3, vp);

	return 0;
}