韦达定理的简洁证明
引言
什么是韦达定理？它描述了二次方程的两根关系：
\[\begin{cases}
x_1x_2=\cfrac{c}{a}\\
x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}
\end{cases}
\]
本文将简洁证明韦达定理。
证明
求根公式
我们知道求根公式：
\[x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]
其中若正负号取正，则得出 \(x_1\)，负号得出 \(x_2\)。
代入：
\[\begin{aligned}
x_1x_2&=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=\cfrac{(-b)^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\
&=\cfrac{c}{a}\\\\
x_1+x_2&=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=\cfrac{-2b}{2a}\\
&=-\cfrac{b}{a}
\end{aligned}
\]
简单粗暴，不用脑子，但需要求根公式，不会就寄。那么有没有更妙的证法？
使用了因式分解思想（也许？）的证法
考虑一下二次方程：（\(a\ne 0\)）
\[ax^2+bx+c=0\tag{1}
\]
如果两边同除以 \(a\)：
\[x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a}=0\tag{2}
\]
可知 \((1),(2)\) 等价。
接下来考虑以下式子：
\[\overbrace{(x-x_1)}^{\text{Part 1}}\overbrace{(x-x_2)}^{\text{Part 2}}=0\tag{3}
\]
当 \(x=x_1\) 时，等式成立，因为 \(\text{Part 1}\) 为 \(0\)。同理当 \(x=x_2\) 时也成立。这正好对应了方程有解的情况（\(x_1,x_2\) 为方程 \((3)\) 的两解）。
将它展开：
\[x^2+(-x_1-x_2)x+x_1x_2=0\tag{4}
\]
明显展开后上述性质依然成立，即 \(x_1,x_2\) 是该方程的两个解。将式子 \((2),(4)\) 的 \(x\) 的系数（包括常数项）一一对应，那么可以得到：
\[\begin{cases}
-x_1-x_2=\cfrac{b}{a}\\
x_1x_2=\cfrac{c}{a}
\end{cases}
\tag{5}
\]
即
\[\begin{cases}
x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}\\
x_1x_2=\cfrac{c}{a}
\end{cases}
\tag{6}
\]
证毕。
后记
中午做作业时突发奇想。还有一道提公因式题弄出了原根。
主要是为了记下这奇妙的思路，并在要用韦达定理的某些时候能不弄混 \(x_1x_2,x_1+x_2\)。
如果你想知道本文的数学公式怎么弄的，可以点击下方 \(\downarrow\) MD 按钮看 Markdown 源码。
晚上看了一下九下数学书，没想到已经提到了（悲。（P15，*21.2.4）。无所谓，反正是我自己想出来的。
