Tarjan 求割点和桥

欢迎批评指正！

注意：本文只针对无向图。

前置芝士

• 割点：对于一个点 \(u\)，若删除 \(u\) 会使当前无向图中连通分量增多，我们就称 \(u\) 为该图的割点。
• 桥（割边）：同理，对于一条边 \((u,v)\)，若删除 \((u,v)\) 会使当前无向图中连通分量增多，我们就称 \((u,v)\) 为该图的桥。
• Tarjan 求强连通分量和缩点

Tarjan 求割点

设两个数组 \(\mathit{dfn}\) 和 \(\mathit{low}\)，表示 dfs 序和至多通过 \(1\) 条非树边所能到达的点的 \(\mathit{dfn}\) 的最小值。

注意，这里的树边是有向边，是无向边中按 dfs 序访问的那个方向。非树边包含树边的反向边。
在 dfs 过程中维护这两个数组。

当 \(u\) 和其儿子 \(v\) 满足 \(\mathit{low}_v\ge \mathit{dfn}_u\) 时，称 \(u\) 是割点。

感性理解：因为这说明 \(v\) 无法通过非树边“逃出”\(u\) 的子树，只能通过 \(u\)，那么当 \(u\) 被删除时，\(v\) 就与其他点脱离了联系。

但有一个特例：如果 \(u\) 是 dfs 树的根，那么只要有两个或更多儿子，\(u\) 就是割点，因为删除根节点后这两个或更多子树将互不相连。

算法流程

dfs 到 \(u\) 时：

• 给 \(\mathit{dfn}_u\)、\(\mathit{low}_u\) 赋值。
• 遍历每个子节点 \(v\)：
  • 如果未被访问过，就先 dfs，然后更新 \(\mathit{low}_u\gets\min(\mathit{low}_u,\mathit{low}_v)\)。
  • 如果访问过，就更新 \(\mathit{low}_u\gets\min(\mathit{low}_u,\mathit{dfn}_v)\)。
  • 如果你想知道为什么这样更新，请看这个。
  • 如果满足 \(\mathit{low}_v\ge \mathit{dfn}_u\)，将 \(u\) 标记为割点。但要特判根节点。

代码

int n,m;
vector<int> e[21145];// 边表
bitset<20008> cut;// 标记是否为割点

int dfn[21145],low[21145],cnt=1,root;// cnt：时间戳，root：当前 dfs 树的根
void tarjan(int u=root)
{
	int chd=0;// 孩子数量
	low[u]=dfn[u]=cnt++;
	for(int v:e[u])// 遍历所有孩子
	{
		if(!dfn[v])// 若未遍历过
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);// 更新 low
			if(low[v]>=dfn[u])// 判断是否为割点
			{
				cut[u]=true;
			}
			chd++;
		}
		else
		{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(u==root)// 特判是否为根节点
	{
		if(chd>=2)
		{
			cut[u]=true;
		}
		else
		{
			cut[u]=false;
		}
	}
	return;
}

Tarjan 求桥

求桥时，需要稍微修改 \(\mathit{low}\) 的定义：那条非树边不得是树边的反向边（即不能从儿子走到父亲）。原因下面解释。

如果边 \((u,v)\) 满足 \(\mathit{dfn}_u<\mathit{low}_v\)，那么边 \((u,v)\) 是桥。

证明：

如果 \((u,v)\) 不是桥，那么根据桥的定义一定有另一条路径可使 \(v\) 到达 \(u\)，而这只能通过走返祖边实现，于是 \(\mathit{dfn}_u\ge \mathit{low}_v\)，与条件相悖。

同时，因为 \((u,v)\) 在检查是否是桥的过程中应假设 \((u,v)\) 被删除，所以 \((u,v)\) 正走反走都不行，于是限定不能走树边的反向边，否则一个桥都找不到。

注意：重边不能忽略，因此在 dfs 时不能传父节点，应传父节点连过来的边。

算法流程

dfs 到 \(u\) 时：

• 给 \(\mathit{dfn}_u\)、\(\mathit{low}_u\) 赋值。
• 遍历每个子节点 \(v\)，如果 \((u,v)\) 不是来时的边：
  • 如果未被访问过，就先 dfs，然后更新 \(\mathit{low}_u\gets\min(\mathit{low}_u,\mathit{low}_v)\)。
    • 如果满足 \(\mathit{low}_v>\mathit{dfn}_u\)，将 \((u,v)\) 标记为桥。
  • 如果访问过，就更新 \(\mathit{low}_u\gets\min(\mathit{low}_u,\mathit{dfn}_v)\)。

代码

int n,m;
vector<pair<int,int>> e[21145];// 边表，pair存，.first 是连向的点的编号，.second 是边的编号
bitset<200008> cut;// 标记是否为桥

int edgecnt=1;
inline void addedge(int u,int v)
{
	e[u].push_back({v,edgecnt});
	e[v].push_back({u,edgecnt++});
}

int dfn[21145],low[21145],cnt=1,root;// cnt：时间戳，root：当前 dfs 树的根
void tarjan(int u=root,int pre=0)
{
	low[u]=dfn[u]=cnt++;
	for(pair<int,int> to:e[u])// 遍历所有孩子
	{
		if(to.second==pre)
		{
			continue;
		}
		int v=to.first;
		if(!dfn[v])// 若未遍历过
		{
			tarjan(v,to.second);
			low[u]=min(low[u],low[v]);// 更新 low
			if(low[v]>dfn[u])// 判断是否为桥
			{
				cut[to.second]=true;
			}
		}
		else
		{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	return;
}