快速幂

合集 - 数论(6)

1.怎么求最大公约数？2023-09-122.如何快速筛出质数？2023-10-12

3.快速幂2023-08-30

4.Exgcd 扩展欧几里得算法2024-01-065.乘法逆元2024-01-066.数论笔记2024-06-22

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引言

有时我们希望计算 \(a^b\)。
一个很简单的想法是龟速乘：尽人皆知，根据幂的定义 \(a^b=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{b~个}\)，我们便可以完成上个世纪的操作：

int ans=1;
for(int i=1;i<=b;i++)
{
	ans*=a;
}

可这还是太慢了，有更快的方法吗？

快速幂原理

引理：
\(a^{x+y}=a^x\times a^y\)
证明：根据幂的定义即可得出，八上数学不多介绍。

接下来我们可以对 \(b\) 进行二进制拆分：
如 \(b=7\) 时，\(a^b=a^7=a^1\times a^2\times a^4\)。
如 \(b=10\) 时，\(a^b=a^{10}=a^2\times a^8\)。

可以得出，

\[a^b=\prod_{i=0}^{\lfloor\log(b)\rfloor}\left(\left\lfloor\cfrac{b}{2^i}\right\rfloor\bmod 2\right)\times a^{2^i} \]

看不懂也无所谓，理解就行。

代码

int qpow(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)// 表示 b 的二进制中当前这位是否为 1
		{
			ans=ans*a;// 如果为 1，乘以 a^{2^i}
		}
		a*=a;// a^{i*2}=a^i*a^i
		b>>=1;// 用于遍历 b 的每一位
	}// 每次 while 相当于上面公式中的 i++
	return ans;
}