单调栈与单调队列

引入

有时我们希望求出往前第一个比自己大的数。

形式化的说：给一个数组 \(a\)，求一个数组 \(p\)，使得 \(a_{p(i)}>a_i\) 且 \(\forall p_i<j<i,a_j\le a_i\)。若不存在 \(p_i\)，\(p_i\gets i\)。

怎么求呢？

暴力

首先考虑最朴素的做法。对于每一个 \(i\)，向前枚举 \(j<i\)，若 \(a_j>a_i\)，\(p_i\gets j\)。

当 \(a\) 降序时，复杂度达到上界，为 \(O(n^2)\)，不够优秀。

单调栈

聪明的算法经常都是优化\观察暴力得来的，于是观察暴力出的 \(p\) 数组。有以下例子：

id	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(a\)	\(3\)	\(2\)	\(4\)	\(1\)	\(1\)
\(p\)	\(1\)	\(1\)	\(3\)	\(3\)	\(3\)

可以发现，\(p_1=p_2=1\)，而到 \(p_3\) 时却为 \(3\)。为什么呢？因为 \(a_3>a_1\)，于是 \(p_3=p_4=p_5=3\)，都找 \(3\) 去了。

可以看下面这张图理解：

问题来了，如果只挡住一个，后面山外有山有更高的怎么办？维护一个栈即可，我们叫他单调栈（因为栈中单调）。

操作

可以将这个单调栈 \(stk\) 想象为 OI 队。栈中保存 \(a\) 中下标即可。其中满足 \(1\le i<n,stk_i<stk_{i+1}, a_{stk(i)}>a_{stk(i+1)}\)。即年龄从大到小（下标从小到大），实力也从大到小。每次添加一个 \(a_i\)，都要卷死 \(stk\) 中的幸运 oier。

• 出栈。如果有学长比你（\(i\)）弱，ta 就可以 AFO 了。（\(a_{stk(back)}\le a_i\)，那么退栈。）
• 入栈。如果学长们都比你强，你就淘汰不了 ta 们，于是你（\(i\)）入栈。

这样就保证了 OI 队中实力单调下降。

那么讲了半天 \(p_i\) 怎么求？注意到入栈时学长都比你强，那么 ta 们中最小的就是所求的 \(p_i\)。

由于每个 \(a_i\) 顶多入栈、出栈各一次，故时间复杂度 \(O(n)\)。

单调队列

其实相比单调栈没改多少。注意到每个 oier 迟早得退役，那么有时可能会规定 \(a_i\) 必须出队的时间。维护单调队列时每次判断队首元素是否需要出队即可。注意单调队列是双端队列，需要队首出，队尾进出。

代码

单调栈

P5788 【模板】单调栈 - 洛谷

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	vector<int> v;
	int a[n+1],f[n+1];// 以前的代码好抽象，我现在都改到 main 外开数组了。
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		while(!v.empty()&&a[i]>=a[v.back()])// 如果比我大（或等于）
			v.pop_back();// 弹出
		f[i]=(v.empty()?0:v.back());// 如果没有比我小，答案为 0（题目中定义）
		v.push_back(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d ",f[i]);
	}
	return 0;
}

单调队列

P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列 - 洛谷

#include <iostream>
#include <deque>
using namespace std;
int main()
{
	int n,k;
	scanf("%d %d",&n,&k);
	int a[n+1];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	deque<pair<int,int>> d;// 其实尽量少用 deque。可以不用 pair。（是以前写的代码。）
	for(int i=1;i<=n;i++)// 求最小值
	{
		while(!d.empty()&&d.back().second>=a[i])// 如果大等于我，弹出
			d.pop_back();
		if(!d.empty()&&d.front().first<=i-k)// 如果过时，弹出
			d.pop_front();
		d.push_back({i,a[i]});// 入队
		if(i>=k)
			printf("%d ",d.front().second);// 输出答案。若没有比我小的，答案就是自己
	}
	puts("");
	d.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)// 求最大值
	{
		while(!d.empty()&&d.back().second<=a[i])// 同理
			d.pop_back();
		if(!d.empty()&&d.front().first<=i-k)
			d.pop_front();
		d.push_back({i,a[i]});
		if(i>=k)
			printf("%d ",d.front().second);
	}
	return 0;
}

习题

板子就不列了。

• P1901 发射站 - 洛谷 较板。

• P7167 [eJOI2020 Day1] Fountain - 洛谷 很妙的一题，需要结合其他算法。

• P2422 良好的感觉 - 洛谷 依然很妙。需要巧妙地枚举。

• P1823 [COI2007] Patrik 音乐会的等待 - 洛谷 没做过，有时间做一下。

后记

如果是单调不降或上升等同理。