前缀函数与 KMP 算法

文本串 \(t\)，模式串 \(s\)，\(m=|t|,n=|s|\)。（\(|s|\) 表示 \(s\) 的长度。）
\(s[i\dots j]\) 表示 \(s\) 从 \(i\) 到 \(j\) 的子串。
默认字符串下标从 \(0\) 开始。

引言

有时我们希望在文本串 \(t\) 中查找模式串 \(s\)。比如你按下 Ctrl+F 时浏览器就会在页面中查找你输入的字符串。

一种方法是暴力查找，时间复杂度 \(O(nm)\)。

有没有更快的方法呢？

前缀函数

定义：

• \(s\) 的 border：\(s\) 的最长公共真前后缀。例如 \(\texttt{abccdabc}\) 的 border 为 \(\texttt{abc}\)。
• \(s\) 前缀函数 \(\pi_i\)：\(s[1\dots i]\) 的 border 长度。规定 \(\pi_0=0\)。
  对于 \(s=\texttt{abcabcd}\)，\(\pi_0=0,\pi_1=0,\pi_2=0,\pi_3=1,\pi_4=2,\pi_5=3,\pi_6=0\)。

那么前缀函数 \(\pi\) 怎么求呢？

观察可以发现 \(\pi_i\) 至多增加 \(1\)，也就是说如果考虑现在算 \(\pi_i\)，那么我们希望最好 \(\pi_i=\pi_{i-1}+1\)，此时 \(s[\pi_{i-1}]=s[i]\)。

如：

\[\underbrace{\overbrace{s_0 ~ s_1 ~ s_2}^{\pi_{i-1} = 3} ~ s_3}_{\pi_i = 4} ~ \dots ~ \underbrace{\overbrace{s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ s_{i-1}}^{\pi_{i-1}=3} ~ s_{i}}_{\pi_i = 4} \]

（来自 OI-Wiki。）

此时 \(\pi_{i-1}=3\)，我们希望 \(s[3]=s[i]\)，这样就可以得到 \(\pi_i=\pi_{i-1}+1\)。

但是，如果 \(s[\pi_{i-1}]\ne s[i]\)，那怎么办？我们将这种情况称为“失配”。

失配时，我们依然想让 border 尽可能地长，所以我们希望找到一个严格次长 border，我们将原 border 记为 \(b\)，严格次长 border 记为 \(b'\)。

\[\overbrace{\underbrace{s_0 ~ s_1}_{b'} ~ s_2 ~ s_3}^{b} ~ \dots ~ \overbrace{s_{i-4} ~ s_{i-3} ~ \underbrace{s_{i-2} ~ s_{i-1}}_{b'}}^{b} ~ s_{i} \]

1. 首先 \(|b|>|b'|\)（所以是“真前后缀”）。
2. 然后又由于 \(b'\) 和 \(b\) 均是 \(s[1\dots i-1]\) 的公共真前后缀，故 \(b'\) 是 \(b\) 的公共真前后缀（可以从上图看出）。注意，\(b\) 和 \(b'\) 并不表示长度，而是字符串，左右两对字符串 \(b\) 和 \(b'\) 是分别相等的。左边可以看出 \(b'\) 是 \(b\) 的前缀，右边可以看出 \(b'\) 是 \(b\) 的后缀。
3. 因为我们规定是严格次长 border，所以除了 \(b\) 没有其他 border 比 \(b'\) 长，又因为 \(b'\) 是 \(b\) 的公共真前后缀，所以 \(b'\) 是 \(b\) 的 border。

所以我们找到了一个递归关系：一个 border 的严格次长 border 为它自己的 border。（好绕啊！）
前缀函数的求法就出来了：

• 先看是否满足 \(s[\pi_{i-1}]=s[i]\)
  • 如果满足，那么 \(\pi_i=\pi_{i-1}+1\)
  • 否则就是失配，检查严格次长 border 能否匹配：\(s[|b'|]=s[i]\)。
    • 若还是不能，继续上一个操作，使 \(b\gets b',b'\gets b~的~\text{border}\)。（检查严格次长 border 的严格次长 border，或者说检查严格次次长 border）。直到无解或匹配上。
    • 如果匹配，\(\pi_{i}=|b'|\)。
    • 如果无解，\(\pi_{i}=0\)。

代码

所以最终我们可以构建一个不需要进行任何字符串比较，并且只进行 \(O(n)\) 次操作的算法。
而且该算法的实现出人意料的短且直观：

vector<int> prefix_function(string s) {
  int n = (int)s.length();
  vector<int> pi(n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
    if (s[i] == s[j]) j++;
    pi[i] = j;
  }
  return pi;
}

KMP

这时候我相信弹幕里满屏都是“RNM退钱！前缀函数讲一大堆，一直不讲 KMP 什么意思？！”
你先别急，你如果能真的理解前缀函数，那 KMP 就是小菜一碟了。

在文本串 \(t\) 中查找模式串 \(s\) 时，我们令 \(u=s+'\!\!\#'+t\)，其中 \(+\) 为拼接，\('\!\#'\) 为任意 \(s\) 和 \(t\) 中不包含的字符。对 \(u\) 求前缀函数，若 \(\pi_i=n\)，那么 \(u[i-n+1\dots i]=s\)。

细想为什么：若 \(\pi_i=n\)，那么 \(s[1\dots i]\) 的最长公共真前后缀就是 \(s\)，也就是说 \(t\) 中也出现了一个完整的 \(s\)，我们就成功在 \(t\) 中查找到 \(s\) 啦！

vector<int> find_occurrences(string text, string pattern) {
  string cur = pattern + '#' + text;
  int sz1 = text.size(), sz2 = pattern.size();
  vector<int> v;
  vector<int> lps = prefix_function(cur);
  for (int i = sz2 + 1; i <= sz1 + sz2; i++) {
    if (lps[i] == sz2)
      v.push_back(i - 2 * sz2);
  }
  return v;
}

参考

• OI Wiki
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