如何求逆序对数量为 k 的 n 的全排列的数量

引入

今天刷题时找到了这两题：

• 容易 P1521 求逆序对 - 洛谷
• 更难 P2513 [HAOI2009] 逆序对数列 - 洛谷

两题都是黄题，但数据范围不一样。

题意：

给定 \(n,k\)，求 \(n\) 的全排列中逆序对数量为 \(k\) 的排列个数。具体可见洛谷题面。

解法

先看数据范围：一题 \(n,k\le 10^3\)，另一题 \(n\le 100,k\le 4950\)。可以猜到复杂度分别是 \(O(nk),O(n^2k)\)。

先讲 \(O(n^2k)\) 做法。

\(O(n^2k)\) 求解

第一眼看过去很懵逼，但明显是一道计数题，暴力搜肯定不行，那么记忆化搜索呢？等等：记忆化搜索不就是 dp 吗？何尝不大胆猜测一波？

很自然地，想到设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 的全排列中逆序对数量为 \(j\) 的排列个数。答案就是 \(dp_{n,k}\)，边界也很好确定：

\[dp_{1,j}= \begin{cases} 1&j=0\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} \]

那么怎么转移？观察到，如果将 \(i-1\) 的全排列插入一个 \(i\)，那么新增逆序对数量将和插入位置直接相关：如果放在第 \(pos\) 个数前面，将新增 \((i-1)-pos+1=i-pos\) 个逆序对。如：放在第 \(1\) 个数前面时，后面的所有数都小于 \(i\)，就会产生 \(i-1\) 个逆序对，其他情况同理。（请思考为什么。）

于是考虑通过 \(dp_{i-1,l}\) 转移。考虑到插入全排列时会新增逆序对，所以转移时要略作调整。

\[dp_{i,j}=\sum_{\mathclap{l=\max(j-i+1,0)}}^{j}dp_{i-1,l}\tag{1} \]

关于 \(l\) 的边界：

• 左边界：当插入至 \(i-1\) 的全排列的最左端时，后面增加 \(i-1\) 个逆序对。所以我们只要求 \(i-1\) 的全排列生成 \(j-i+1\) 个逆序对，那么加起来就刚好是 \((j-i+1)+(i-1)=j\) 个逆序对。当然，\(j-i+1<0\) 时无意义，应全部舍去，所以和 \(0\) 取 \(\max\)。

• 右边界：当插入到最后时，无新增逆序对，所以 \(i-1\) 的全排列需要贡献全部 \(j\) 个。

此算法时间复杂度 \(O(n^2k)\)，空间复杂度 \(O(nk)\)，可以通过第一题。但通过第二题就需要优化了。

\(O(nk)\) 求解

这题的 dp 优化也十分典，加一个前缀和优化即可。维护 \(sum_{i,j}=\sum_{l=0}^{j}dp_{i,l}\)，每次算出 \(dp_{i,j}\) 后 \(sum_{i,j}=sum_{i,j-1}+dp_{i,j}\) 即可。

转移方程变为：

\[dp_{i,j}= \begin{cases} sum_{i-1,j}&j<i\\ sum_{i-1,j}-sum_{i-1,j-i}&j\ge i \end{cases} \tag{2} \]

请思考为什么 \(j\ge i\) 时是减去 \(sum_{i-1,j-i}\)（可参考转移方程 \(1\)）。

后记

代码就不放啦！怕抄袭。

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