怎么求最大公约数？

合集 - 数论(6)

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引言

有时需要求两数（\(a,b\)）的最大公约数，即 \(\gcd(a,b)\)。
那怎么求？

原理

设 \(g=\gcd(a,b),a<b\)。
那么 \(a\) 是 \(g\) 的倍数，\(b\) 也是 \(g\) 的倍数，那么 \(m=b\bmod a=b-ka\) 也是 \(g\) 的倍数（\(k\) 是某个合适的整数，使 \(0\le m<a\)）。

\(\because ka+m=b\)

\(\therefore\) 只要 \(a,m\) 是 \(g\) 的倍数，那么 \(b\) 也一定是 \(g\) 的倍数。

问题就转化为求 \(\gcd(m,a)=\gcd(b\bmod a,a)\)。由于 \(m\) 是模 \(a\) 的余数，所以 \(m<a\)，满足条件“\(a<b\)”。
（说的不清楚请直接在评论区吐槽。）

最后如果 \(a=0\)，返回 \(b\)。

实现

inline int gcd(int a,int b)
{
    return (a?gcd(b%a,a):b);//等价于 return (b?gcd(a,a%b):a);
}

ll gcd(ll x,ll y)
{
	if(!x)return y;
	if(!y)return x;
	int xz=__builtin_ctzll(x),yz=__builtin_ctzll(y),sh=std::min(xz,yz);
	x>>=xz,y>>=yz;
	while(true)
	{
		if(y>x)std::swap(x,y);
		x-=y;
		if(!x)break;
		x>>=__builtin_ctzll(x);
	}
	return y<<sh;
}