Tarjan 求双连通分量（点双连通分量、边双连通分量）

注意：本文只针对无向图。

对于无向图，显然不能只考虑简单的连通关系，应该研究一些更强的连通关系：双连通。

前置芝士

• 点双连通分量：若一个连通分量任意两点间 都存在 至少两条不经过（除起点和终点外）相同点的路径，我们就称这个连通分量 为点双连通分量。
• 边双连通分量：同理，若一个连通分量任意两点间 都存在 至少两条不经过 相同边的路径，我们就称这个连通分量 为边双连通分量。
• Tarjan 求割点和桥

首先要明确的是，若一点（或边）对于原图是割点（或桥），对于其任意包含该点（或边）的子图，该点（或边）仍是割点（或桥）。

可以想到，在一张无向图的点双连通分量中，一个割点所连的点有且只有 \(1\) 个（注意这个点必须是指定点双连通分量中的）。注意不是度数为 \(1\)，因为可能有重边。原因是若某割点连接了一点双连通分量中的两个点，必然有删去它后该点双连通分量不连通。反之它就不是割点。

同样的，在一张无向图的边双连通分量中，必然不包含桥。

Tarjan 求点双连通分量

算法流程

首先维护一个栈 \(\mathit{stk}\)，一访问点 \(u\)，就将 \(u\) 压入 \(\mathit{stk}\)。

书接上回，当判断一点是割点后，我们可以从 \(\mathit{stk}\) 中退点，将这些点加入新的点双中，一直退到 \(v\)，注意不要退出 \(u\)，但要在当前点双中加入 \(u\)。

因为上文说了，虽在一个点双中，割点连接的点只有 \(1\) 个，即 \(v\)，但 \(u\) 还可能在其他点双中，故不能退栈（或者你退完压回去也可以）。

所以注意，不同于强连通分量和接下来要说的边双，一个点可能在多个点双中。

进一步的，我们甚至可以求出删去 \(u\) 后连通分量的增加个数，记为 \(cut_u\)。每当满足 \(\mathit{low}_v\ge \mathit{dfn}_u\)，\(cut_u\gets cut_u+1\)。因为一旦删去 \(u\)，\(v\) 将与 \(u\) 的祖先脱离联系，导致连通分量数量增加 \(1\)。

其他与求割点相同。

代码

暂无。

Tarjan 求边双连通分量

算法流程

还是同样的维护 \(\mathit{stk}\)，当判定边 \((u,v)\) 为桥后，可将 \(stk\) 退到 \(v\)，并将退的点加入一个新的边双中。有没有发现边双比点双简单多了？是的，由于桥不能存在于边双中，故退到 \(v\) 即可，没有太多可叽叽歪歪的。

其他与求桥相同。

\(\texttt{Upd}\)：实现中，为了避免根节点（可设为 \(1\)）所在的边双未被退栈，可以按以下实现：

对 \(u\) 的 dfs 即将结束时，判断 \(dfn_u=low_u\)（可得 \((u,\mathit{fa}_u)\) 为桥），若为真，则将 \(stk\) 退到 \(u\) 结束。这样的实现相当于在上文的 \(v\) dfs 结束时直接退栈，而不是回溯到 \(u\) 的 dfs 时判断、退栈。应为根节点没有父亲。

当然你也可以依然按算法流程的实现，但要加一个超级源点 \(0\) 只连接根节点，这样就能保证根节点所在边双被退栈。

代码

暂无。

完结撒花！

Tarjan 连通系列正式完结啦！（除了代码）。

以后可能还会更 LCA、LCT、splay 的文章（挖大坑）。