CF1661D Progressions Covering 题解

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前言

本篇题解亮点在于解释如何一遍从后往前扫一边双重差分。

解法

贪心，从右往左依次满足每个数。至于贪心的正确性其他题解已经讲得很清楚了，不再赘述。 而题目中将数组 $a$ 加到 $a_i\ge b_i$ 等价于把 $b_i+\Delta b_i\le0$。

重点是如何维护贪心过程中进行的区间减等差数列。 暴力减等差数列十分麻烦，有没有替代的方法？

先看这张图，数组 $\Delta b$ 初始时全是 $0$，我们减去一个等差数列（用大括号括起来的）后变成：$$ \cdots~0~\overbrace{-d~{-2d}~{-3d} ~{-4d}}^{[l,i]}~0\cdots $$

对它进行差分两次（从右往左）：

下标	$l-2$	$l-1$	$l$	$l+1$	$i-1$	$i$	$i+1$
数组 $\Delta b$	$0$	$0$	$-d$	$-2d$	$-3d$	$-4d$	$0$
差分数组	$0$	$+d$	$+d$	$+d$	$+d$	$-4d$	$0$
双重差分数组 $c$	$-d$	$0$	$0$	$0$	$+5d$	$-4d$	$0$

我们发现，只要在 $c$ 上标记 $3$ 个位置即可：$l-2,i-1,i$。 我们可以用 $c$ 对应 $\Delta b$，需要 $\Delta b$ 时进行对 $c$ 进行两次前缀和还原出 $\Delta b$。

但是麻烦还没完，我们要一边维护 $c$，一边算出 $\Delta b_i$ 的值。

将操作分为三部分：

1. 进行还原，通过 $c$ 算出 $\Delta b_i$，即代码中的 sum2。
2. 计算 $b_i+\Delta b_i$ 和应该贪心地减去几个等差数列。
3. 如果要减，那么对 $c$ 进行标记，表示出减去的等差数列，并修正一些中间变量如代码中的 sum1 和 sum2。因为如果要减，就要更新 $c_i$，而在第 $1$ 步中根据 $c_i$ 算的 sum1 和 sum2（即 $\Delta b$）也要修正。

具体见代码。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=300005;
int n,k;
ll ans,sum1,sum2;
ll b[N],c[N];// 原数组和双重差分数组。注意双重差分数组两次前缀和（“解码”）后
// 得出的是原数组要减去的值（即差值）。

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",b+i);
    }
    for(int i=n;i>0;i--)// 从后往前扫
    {
        // 还原
        sum1+=c[i];// 一次前缀和
        sum2+=sum1;// 两次前缀和
        // 计算要减去多少个等差数列（用 d 表示）。注意不要越界。
        ll l=max(1,i-k+1),len=i-l+1,d=(b[i]+sum2+len-1)/len;
        if(d>0)// 如果要减
        {
            ans+=d;// 记录答案
            // 标记 c 数组。
            if(l-2>0)
            {
                c[l-2]-=d;
            }
            c[i-1]+=(len+1)*d;
            // 修正两个前缀和。可以看上面的表格理解。
            sum1-=len*d;
            sum2-=len*d;
        }
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}