论二次函数一般式系数正负性的判定

二次函数一般式，即 \(y=ax^2+bx+c\;(a,b,c\text{ are constants,}a\ne 0)\)。给出一张未给出单位长度的平面直角坐标系及其上任意二次函数图象，可快速求出 \(a,b,c\) 的正负性（\(>0,=0,<0\)）。

1、\(c\)

联立，求图象与 \(y\) 轴交点

\[\begin{cases} x=0\\y=ax^2+bx+c \end{cases} \]

可得 \(x=0,y=c\)。故图象与 \(y\) 轴交点纵坐标即为 \(c\) 值。观察交点在 \(y\) 轴正半轴、负半轴、原点即可。

2、\(a\)

考虑顶点式即 \(y=a(x-h)^2+k,h=-\cfrac{b}{2a},k=\cfrac{4ac-b^2}{4a}\)，若 \(a>0\)，则 \(u\ge k\)，即图象在顶点上方（\(y=k\) 上方）。同理 \(a<0\) 时在下方，其实就是开口方向，观察开口即可。

3、\(b\)

作 \(y'=bx+c,y''=ax^2\)，则显然 \(y=y'+y''\)。当 \(x=0\) 时，\(y''=0\)；同时，\(x\approx 0\) 时，\(y''\) 对 \(y\) 的贡献很小，\(y\) 值大部分由 \(y'\) 决定，而 \(y'\) 为一次函数，且斜率为 \(b\)，于是可以得到。

• \(b>0 \iff\) 图象在 \(y\) 轴附近上升；
• \(b=0 \iff\) 图象在 \(y\) 轴附近与 \(x\) 轴平行；
• \(b<0 \iff\) 图象在 \(y\) 轴附近下降；

更严谨地，应该是判断 \(y\) 轴交点与图象交点处图象的切线上升下降。事实上，该判定法可以用微积分解释。\(y=ax^2+bx+c\) 的导函数 \(\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2ax+b\)。当 \(x=0\) 时，切线斜率为 \(b\)。直接观察切线增减性即可。