概率论
基础概念
在 OI 中，绝大多数情况都是离散的、有限的，故本笔记只限于上述情况。
随机试验
我们称具有以下三个特点的试验称为随机试验（\(E\)，简称事件）：
- 可以相同条件下重复多次；
- 结果多且可提前确定所有可能结果；
- 试验前无法预测具体结果。
样本空间 & 随机事件
样本空间
我们称随机试验 \(E\) 的所有可能结果所组成的集合为 \(E\) 的样本空间（\(S\)），其中每个元素（\(E\) 的结果）称为样本点。每次随机试验有且仅有一个结果，故每次随机试验相当于从 \(S\) 中随机选取一个元素作为结果。
Ex 1：对于“掷骰子”这一随机试验 \(E_1\)，其样本空间 \(S_1=\{1,2,3,4,5,6\}\)。
Ex 2：对于“掷两次硬币”这一随机试验 \(E_2\)，若记 \(1,0\) 分别为正、反面，其样本空间 \(S_2=\{00,01,10,11\}\)。
随机事件
一般地，我们称 \(S\) 的子集为 \(E\) 的随机事件（简称事件），每次试验中某一事件发生当且仅当子集中一个样本点发生。事件，即 \(S\) 的子集，一般应满足一定条件，但实践中并不常遇到。
特别地，每个样本点组成的单个点的集合称为基本事件。Ex 1、Ex 2 中，基本事件分别为 \(\{1\},\{2\},\dots,\{6\}\)、\(\{00\},\{01\},\{10\},\{11\}\)。
显然的，\(S\) 为必然事件，\(\varnothing\) 为不可能事件。
事件间关系与运算
以下设 \(E\) 的样本空间 \(S\) 有子集 \(A,B\)，
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若 \(A\sube B\)，则 \(B\) 包含 \(A\)，即 \(A\) 的发生必然导致 \(B\) 发生；
若 \(A\sube B\land B\sube A\implies A=B\)，即 \(A\) 与 \(B\) 相等。
-
事件 \(A\cup B\) 为 \(A\) 和 \(B\) 的和事件，其发生当且仅当 \(A,B\) 中至少有一个发生。类似地，和事件可以推广到任意多个事件。
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事件 \(A\cap B\) 为 \(A\) 和 \(B\) 的积事件，其发生当且仅当 \(A,B\) 同时（都）发生。同样它可推广。\(A\cap B\) 可以记作 \(AB\)。
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时间 \(A-B\) 为 \(A\) 和 \(B\) 的差事件，其发生当且仅当 \(A\) 发生 \(B\) 不发生。
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若 \(A\cap B=\varnothing\)，称 \(A\) 和 \(B\) 互不相容（互斥）。即二者不可能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
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若 \(A\cup B=S\land A\cap B=\varnothing\)，即 \(A,B\) 是 \(S\) 的一个划分，那么 \(A\) 和 \(B\) 互为逆事件（对立事件），即每次试验 \(A,B\) 有且只有一个发生。\(A\) 的对立事件记作 \(\overline{A}=S-A\)。
