数论笔记
施工中。有部分空缺。
基础概念
整除
定义
若对于 \(a,b\in\Bbb{Z},a\ne 0\)，\(\exist x\in\Bbb{Z},b=ax\)，我们称 \(b\) 能被 \(a\) 整除，记做 \(a\mid b\)。反之则 \(b\) 不被 \(a\) 整除，记做 \(a{\;\mathrlap{\kern{-.11em}/}{\mid}\;}b\)。
注：\(\KaTeX\) 中没有不整除号，只有 \(\nshortmid\)，十分不美观，故笔者合成了一个 \({\;\mathrlap{\kern{-.11em}/}{\mid}\;}\)，${\;\mathrlap{\kern{-.11em}/}{\mid}\;}$。
性质
以下名字都是我乱起的。
- 与符号无关：\(a\mid b\iff a\mid -b\iff -a\mid b\iff -a\mid -b\iff |a|\mid |b|\)；
- 传递性：\(a\mid b\land b\mid c\implies a\mid c\)；
- 线性组合：\(a\mid b\land a\mid c\iff \forall x,y\in\Bbb{Z},a\mid(ax+by)\)；
- 互相整除：\(a\mid b\land b\mid a\implies a=\pm b\)
- 可约（乘）性：\(\forall m\in\Bbb{Z},m\ne 0,a\mid b\iff am\mid bm\)；
- 可减（加）性：\(a\ne 0,q\in\Bbb{Z},b=ax+c\)，\(a\mid b\iff a\mid c\)。
约数 & 倍数
定义
若 \(a\mid b\)，则 \(a\) 是 \(b\) 的约数（因数），\(b\) 是 \(a\) 的倍数。
\(0\) 是所有非 \(0\) 整数的倍数。对于 \(b\ne 0\)：
\(\pm 1,\pm b\) 是 \(b\) 的平凡约数（平凡因数）。其他则称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。
一般只讨论正约数。
带余除法
这里只讨论最小非负余数带余除法。
定义
对于 \(a\ne 0,b\)，必然 \(\exist x,r\)，\(b=ax+r\land 0\le r<|a|\)。
