图论其他算法

题单：点我。

二分图

……

k 短路

原理

k 短路问题一般使用 A* 算法解决，由于可持久化可并堆优化难度过高（黑题），本文将不会涉及相关内容。

A*，即启发式 bfs，依赖以下函数（设起点 \(s\)，终点 \(t\)）

• \(g(x)\)，代表按照 \(x\) 状态的路径走，从 \(s\) 到 \(x\) 所在点的实际代价；
• \(h(x)\)，代表 \(x\) 所在点到 \(t\) 的估计代价；
• \(h^*(x)\)，代表 \(x\) 所在点到 \(t\) 的实际代价；
• \(f(x)=g(x)+h(x)\)，为估价函数。

注意，本文中状态并非简单的一个点，而包含了该状态所在的点和从起点来该点的路径。路径信息可以直接通过存储 \(g(x)\) 代替，因为路径并不重要，重要的是路径长度。

初始时，以 \(s\) 构造状态，放入堆中。每次取出估价函数 \(f(x)\) 最小的状态扩展子状态，放入堆中。当取出的状态到达 \(t\) 时，即得到了最优解。

一般地，为了得到最优解，要求 \(\forall x,h(x)\le h^*(x)\)，即估价函数必须乐观。为什么呢？设 \(d\) 为最优解（最短路长度），

• 对于最优路径上的任意状态 \(x\)，\(d=g(x)+h^*(x)\ge g(x)+h(x)=f(x)\)，即有 \(f(x)\le d\)。
• 而对于非最优路径上的任意状态 \(y\)，必然存在 \(y\) 的子状态 \(z\)，使得 \(f(z)=g(z)+h(z)>d\)。考虑状态 \(z\) 表示 \(y\) 的子状态，且 \(z\) 到达了 \(t\)（或到达 \(t\) 附近）。此时 \(f(z)=g(z)+h(z)>d+h(z)\)，正常的有 \(h(z)=0\)，故 \(f(z)>d\)。

也就是说，即使 \(z\) 被压入堆，也不会被取出，而会取出 \(x\)。

总之，只要 \(f(x)\) 乐观，就可以得到最优解。如果悲观，则可以快速求出没那么优的解。当然，如果 \(\forall x,h(x)=h^*(x)\)，即可最快地稳定地求出最优解。估价函数应尽量接近实际代价。

类似的，可以证明到达每个点的第 \(k\) 小代价为 在该点的第 \(k\) 个出堆的状态的代价。人话：如果一个状态第 \(k\) 个到达某个点，它即为 \(k\) 短路。

那么怎么设计估价函数呢？

考虑在反向图上跑单源最短路，起点为 \(t\)。设 \(u\) 到 \(t\) 的最短路为 \(dis(u,t)\)，估价函数即为 \(f(x)=g(x)+h(x)=g(x)+dis(x,t)\)。这里 \(dis(x,t)\) 中 \(x\) 实际上是 \(x\) 所在的点。也就是说，我们以到 \(t\) 的最短路作为 \(h(x)\)。事实上，dijkstra 实现单源最短路本质也是 A*，其中 \(h(x)\equiv 0\)。

实现

差分约束

引入

考虑单源最短路的一个性质：

在有向图中，若存在边 \(u\to v\)，边权为 \(w\)，则 \(dis_u+w\ge dis_v\)。

正确性是显然的，因为如果反之 \({dis}_u+w<dis_v\)，我们就可以令 \({dis}_v\gets dis_u+w\)，原先的就不是最短路了，与题设矛盾。

那么怎么使用这个性质呢？

正文

当题目中出现形如

\(m\) 个限制条件，\(n\) 个变量 \(x_i\)，每个限制条件形如：\(x_a-x_b\le y\)。

时，就可以建图跑最短路。\(x_a-x_b\le y\implies x_b+y\ge x_a\)，即 \(b\) 向 \(a\) 连边权为 \(y\) 的边。

例题

Luogu P5960 【模板】差分约束

直接连边跑最短路即可。但观察到无法快速确定一个源点，使得从它开始可以遍历到每个点。

技巧 \(1\)：可以建立超级源点 \(0\)，让 \(0\) 向每一个点连边。如果被卡可以 random_shuffle() 一下 \(0\) 的出边。

Luogu P3275 [SCOI2011] 糖果

依然考虑差分约束。

先使用技巧 \(1\)，超级源点连所有点，边权为 \(1\)，这样满足每个小朋友都可以分到糖果。

注意到边权只为 \(\{0,-1\}\)，跑最短路可能使小朋友倒贴糖果 \(dis\) 为负。

当然，可以一负到底，将上面连超级源点的边权改成 \(-1\)，然后输出 \(-dis(i)\) 即可。

技巧 \(2\)：变正权边。

可以将边权取相反数，跑最长路。注意该技巧没有本质优化，不可以实现“变正权边跑 dijkstra”之类的操作。

这个技巧唯一的用处就是思路更顺。注意即使是“最长路”求出的未知数和照样最小，最长路只是保证约束条件。

但本题可以把队列优化 Bellman-Ford 卡爆！怎么办？

技巧 \(3\)：配合 Tarjan 缩点。

以下题解使用了 技巧 \(2\)，当然不用也可以做。

先缩点，每个 SCC 内部如果出现了一条 \(u\) 到 \(v\) 的边权为 \(1\)，根据 SCC 的定义，一定还存在一条 \(v\) 到 \(u\) 的路径，由于边权 \(\ge 0\)，所以一定会出现一个正权环，则这个差分约束系统无解。

否则的话，发现 SCC 内部变量取值一定是相同的，那么问题变成了一个 DAG 上最长路，拓扑排序即可。

——来自该题题解

Luogu P3530 [POI2012] FES-Festival

题意：\(x_a=x_b-1,x_c\le x_d\)。求 \(|\{x_1,x_2,\dots,x_n\}|\) 的最大值（即最大化 \(x\) 中的数的种数）。

考虑转化题意

• \(x_a=x_b-1\iff x_a\ge x_b-1\land x_a\le x_b-1\iff (a,b,1),(b,a,-1)\)；
• \(x_c\le x_d\iff (d,c,0)\)。

首先要明确：\((a,b,w),(b,c,w')\implies (a,c,w+w')\)，因为 \(dis(a)+w+w'\ge dis(b)+w'\ge dis(c)\)。即 \(dis(b)-dis(a)\le w+w'\)。更一般地，可以推广到任意条边。

考虑对于一般的差分约束系统，点与点的连通性非常混乱，难以出现很强的约束关系。考虑在强连通分量中，其中任意点 \(u,v\)，显然有 \(x_v-x_u\le dis(u,v)\)，同时 \(x_u-x_v\le dis(v,u)\)，因为 \(u,v\) 双向可达。于是我们得到 \(-dis(u,v)\le x_u-x_v\le dis(v,u)\)。也就是说，\(x_u-x_v\) 的差有一个固定的范围。

考虑在数轴上的意义。一个强连通分量 \(S\) 中的点的未知数在数轴上必然有最大值和最小值，它们的差（极差）就是 SCC 内任意两点间最短路的最大值。因为 \(\max x_u-x_v\le\max dis(v,u)\)，可以取等。于是我们得到了 SCC 内极差。

考虑 SCC 内最多取值数（SCC 内答案）。由于边权只取 \(\{-1,0,1\}\)，显然有 \(\forall u,v\in S,dis(u,v)<|S|\)。所以 \(\max x_u-x_v<|S|\)，也就是说数轴上 \([x_u,x_v]\) 的整点会被填得满满的。即，SCC 内答案为 \(\max x_u-x_v=\max dis(v,u)\)。

考虑原图。缩点后，图变成 DAG，且显然剩下的边边权为 \(0\)（第二种限制），反之可以继续缩点。也就是说，只剩下 SCC 间的 \(\le\) 关系。于是，我们可以令任意两个 SCC 在数轴上的距离无限拉大，这样各个 SCC 间就互相独立了。累加各个 SCC 的答案即为最终答案。