差分约束

引入

考虑单源最短路的一个性质：

在有向图中，若存在边 \(u\to v\)，边权为 \(w\)，则 \(dis_u+w\ge dis_v\)。

正确性是显然的，因为如果反之 \({dis}_u+w<dis_v\)，我们就可以令 \({dis}_v\gets dis_u+w\)，原先的就不是最短路了，与题设矛盾。

那么怎么使用这个性质呢？

正文

当题目中出现形如

\(m\) 个限制条件，\(n\) 个变量 \(x_i\)，每个限制条件形如：\(x_a-x_b\le y\)。

时，就可以建图跑最短路。\(x_a-x_b\le y\implies x_b+y\ge x_a\)，即 \(b\) 向 \(a\) 连边权为 \(y\) 的边。

例题

Luogu P5960 【模板】差分约束

直接连边跑最短路即可。但观察到无法快速确定一个源点，使得从它开始可以遍历到每个点。

技巧 \(1\)：可以建立超级源点 \(0\)，让 \(0\) 向每一个点连边。如果被卡可以 random_shuffle() 一下 \(0\) 的出边。

例题：Luogu P1993 小 K 的农场

同理，需要判负环。直接上队列优化 Bellman-Ford。

Luogu P3275 [SCOI2011] 糖果

依然考虑差分约束。

先使用技巧 \(1\)，超级源点连所有点，边权为 \(1\)，这样满足每个小朋友都可以分到糖果。

注意到边权只为 \(\{0,-1\}\)，跑最短路可能使小朋友倒贴糖果 \(dis\) 为负。

当然，可以一负到底，将上面连超级源点的边权改成 \(-1\)，然后输出 \(-dis(i)\) 即可。

技巧 \(2\)：变正权边。

可以将边权取相反数，跑最长路。注意该技巧没有本质优化，不可以实现“变正权边跑 dijkstra”之类的操作。

这个技巧唯一的用处就是思路更顺。注意即使是“最长路”求出的未知数和照样最小，最长路只是保证约束条件。

但本题可以把队列优化 Bellman-Ford 卡爆！怎么办？

技巧 \(3\)：配合 Tarjan 缩点。

以下题解使用了 技巧 \(2\)，当然不用也可以做。

先缩点，每个 SCC 内部如果出现了一条 \(u\) 到 \(v\) 的边权为 \(1\)，根据 SCC 的定义，一定还存在一条 \(v\) 到 \(u\) 的路径，由于边权 \(\ge 0\)，所以一定会出现一个正权环，则这个差分约束系统无解。

否则的话，发现 SCC 内部变量取值一定是相同的，那么问题变成了一个 DAG 上最长路，拓扑排序即可。

——来自该题题解