环形染色问题

问题描述

一个有 \(n\) 个格子的环，用 \(m\) 种颜色给其每个格子染色，要求相邻格子颜色不同，求方案数。其中 \(n,m\ge 2\)。

解法

考虑递推解决。设 \(f_i\) 表示有 \(i\) 个格子的环，\(m\) 种颜色的方案数。

如何转移？

考虑遮掉一个格子，分类讨论：

• 若存在方案，使得此格子两侧颜色相同，那么可以将两侧的两格合并为一个格子，除去遮掉的格子，方案数为 \(f_{i-2}\)。将遮掉的格子重新考虑时，由于不能与左右两侧的颜色相同，故该格子有 \(m-1\) 种填色方案，总共 \(f_{i-2}\times (m-1)\)。
• 若存在方案，使得左右颜色不同，那么除去遮掉的格子，方案数为 \(f_{i-1}\)。重新考虑遮掉的格子，由于不能与左右两侧的颜色相同，而左右两侧颜色不同，故该格子只剩 \(m-2\) 种填色方案，总共 \(f_{i-1}\times (m-2)\)。

两种情况合并，根据加法原理，有

\[f_{i}=f_{i-2}\times (m-1)+f_{i-1}\times (m-2) \]

边界？

易得 \(f_1=0,f_2=m\times (m-1)\)。

答案？

即为 \(f_n\)。