啊哈，381654729！

题目：由1到9九个数字组成的九位数，各位不重复。
前n个数字组成的n位数可以被n整除，求这个九位数。

解：

所需要的一些数学知识：

判断一数字能否被1、2、3、5整除。小学知识，无需多言。

判断一数字能否被6整除：尾数是否为偶、各位和是否3的倍数。

判断一数字能否被9整除：各位和是否9的倍数。（比如abc = a * 90 + b * 9 + a + b + c，问题就转化了a+b+c能否被9整除）

判断一数字能否被4整除：看末位两数组成的两位数能否被4整除。（比如abcdef，因为它等于abcd*100+ef，所以只需判断ef能否被4整除）

判断一数字能否被8整除：看末尾三数组成的三位数能否被8整除。（比如abcdef，等于abc * 1000 + def，所以只须判断def）

 

现在开始求解题目：

设该数字为abcdefghi。

0）。从1到9相加之和为45，是9的倍数。所以无论9个数字怎么排列，都是9的倍数。

1）。abcde要能被5整除，所以e只能为5.

2）。b、d、f、h都必须是偶数，a、c、g、i 必须是奇数

3）。abc能被3整除，故a+b+c是3的倍数；abcdef被6整除，故a+b+c+d+e+f也是3的倍数。
于是d+e+f也是3的倍数。因为e=5，且d、f是2、4、6、8中的两个偶数。所以：d、f要么为2、8，要么为4、6.

4）。abcd能被4整除，故cd须被4整除，而c只能取1、3、7、9中某数，如果d取4或8，cd无法被4整除，所以d只能取2或6！

 

5）。我们先假设，d为2，

于是f=8，h只能取4或6，因为abcdefgh要被8整除，所以fgh需要被8整除，也就是gh要被8整除。

而g是1、3、7、9中的一个，所以h不能为4，gh无法被8整除。于是h=6，b=4，而g只能取1或者9。

如果g取了1，那么abc中的a、c只能取3、7、9中的两数，无论怎么取，都无法让a、b、c之和为3的倍数，所以g不能取1，只能取9！而a、c分取1、7，i=3。

于是现在得到两个数：147258963、741258963.

这两个数字都满足了：当n不等于7时，前n位数字组成的n位数都被n整除。

可惜，通过验证发现，它们都不满足n=7的情况！ 于是得出结论：d不能为2！！！

 

6）。由以上，知：d只能取6！ 于是f = 4.

h只能取2或者8. g取1、3、7、9中某数。 因为要使fgh被8整除，现在f为4。于是：h不能为8！

因为在前面这几个约束下，如果h取了8，那么fgh将无法被8整除！

所以，h只能取2！（于是b=8.） g只能取3或者7.

g可以取3吗？不行，因为abcdefg是要被7整除的，如果g=3，则f必须大于6，这样才能在最后可能拼出个63来以便被7整除，而f现在是4，比6小，所以g不能为3！ 于是g只能为7！

现在a、c只能取1、3、9中两数，为使abc被3整除，故a、c只能取1、3或者1、9。

于是得到四个数字：183654729、381654729、189654723、981654723.

这四个数字都满足了：当n不等于7时，前n位数字组成的n位数都被n整除。

通过验证发现：只有381654729满足了n=7的情况！！！

于是：最后的结果：这个九位数就是：381654729！

 

//2009年12月5日夜，躺床上推导数小时，终有所获。