“X整除3,那么X的各位数之和也整除3”的证明
3的倍数的集合是一个等差数列,如下:
3,6,9,12,15,18,,,,87,90,93,96,99,102,105,108,,,
只须证明每一项的各位数之和都是3的倍数,即可。
运用数学归纳法,如下:
第一步:首项3显然满足该定理。
第二步:假设前项各位数之和是3的倍数,那么:
1,前项尾数是0到6其中一数时,后项各位数之和=前项各位数之和+3
2,前项尾数是7时,后项各位数之和=前项各位数之和-7+1=前项各位数之和-6
3,前项尾数是8时,后项各位数之和=前项各位数之和-8+1+1=前项各位数之和-6
4,前项尾数是9时,后项各位数之和=前项各位数之和-9+1+2=前项各位数之和-6
于是:后项各位数之和也是3的倍数。
证毕。