布尔代数

布尔函数的个数以及编号

　　布尔函数就是由变量以及布尔操作符组成的表达式，比如:F = AB + C就是布尔函数。

　　给定n的变量，可以组成无穷多个布尔函数，但是，只有2^(2^n)个布尔函数是不同的(即具有不同的真值表)。比如给定A，B，C三个变量，可以组成F = ABC， F = AABC, F = AAABC,...无穷多个布尔函数，但是只有2^（2^3) = 256个不同的布尔函数，其他的布尔函数都可以转化为这256个布尔函数。

　　给定n个变量就会有2^(2^n)个不同的布尔函数，如果给这些布尔函数从0开始编号，那么通过布尔函数，如何获得这个布尔函数的编号呢？以布尔函数F = AB + C为例，首先画出这个布尔函数的真值表:

C	B	A	F = AB + C
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

然后将真值表的函数结果值从下到上排列起来，对于上面的例子就是: 1 1 1 1 1 0 0 0，那么这串二进制代表的数值就是该布尔函数的编号，即F = AB + C的编号为:248。

　　从上面的例子可以发现，函数编号如果写成二进制的形式，那么每一bit位对应的就是相关变量的值带入布尔函数后的结果值。比如248的二进制最高位(第7bit位)是1，刚好就是C = 1 B = 1 A = 1(7 = 4 * C + 2 * B + 1 * A)带入F = AB + C的结果值，换句话说，我们只要选出248的第i位，i = 4 * C + 2 * B + 1 * A，就可以得到指定的C B A在第248号布尔函数下的结果值，而根本不需要知道这个布尔函数的确切形式。

 

规范化形式(Canonical Form)

　　任何一个布尔函数都只有一个规范化形式，但是规范化形式不是这个布尔函数的最优形式。使用规范化形式的原因是规范化形式与真值表之间的转换特别容易。