欧几里得算法求最大公因数gcd原理证明

要证明欧几里得算法原理，首先需要证明下面两个定理(其中a，b都是整数)：

1 如果c可以整除a，同时c也可以整除b，那么c就可以整除au + bv(u，v是任意的整数)。

这个定理的证明很简单，$\frac{au + bv}{c} = u\frac{a}{c} + v\frac{b}{c}$，因为c可以整除a、b，那么可以得到c可以整除au + bv。

 

2 如果a = qb + r，那么gcd(a, b) = gcd(b, r)。

证明如下:

因为a = qb + r，那么根据定理1，任何可以整除b，r的公因数，一定也可以整除a，也就是说b，r的公因数都是a，b的公因数；同理，因为r = a - qb，那么根据定理1，任何可以整除a，b的公因数，一定也可以整除r，也就是说a，b的公因数，同时也是b，r的公因数。因此，整数对a、b与整数对b、r有相同的公因数，于是也就有相同的最大公因数。定理得证。

 

那么接下来证明欧几里得算法。

如果a = q₁b + r₁，0 <= r₁ < b；

同时b = q₂r₁ + r₂，0 <= r₂ < r₁;

同时r₁ = q₃r₂ + r₃, 0 <= r₃ < r₂;

....

这样不停的分解下去，由于b > r₁ > r₂ > ... >= 0，那么这样分解下去的结果，必然会有一个r_n = 0，这里分解结束。也就是说最后两步分解一定是:

r_n-3 = q_n-1r_n-2 + r_n-1 0 < r_n-1 < r_n-2;

r_n-2 = q_nr_n-1 + r_n，其中r_n = 0

根据上面的定理2，gcd(a, b) = gcd(b, r₁) = gcd(r₁, r₂) = ... = gcd(r_n-2, r_n-1)。由于r_n-1可以整除r_n-2，那么r_n-1就是最大公因数。

 

上面的欧几里得算法证明当中，假设了a > 0， b > 0，但是这对证明没有影响，因为很容易知道:gcd(a, b) = gcd(-a, b) = gcd(a, -b) = gcd(-a ,-b)，所以我们只需要证明a >0, b > 0的情形就可以了。

另外补充一点就是，根据除法定理:

对于任意整数a和b,其中b != 0，那么一定存在一组整数，使得：

a = qb + r, 其中0 <= r <|b|。