一种级数的求和方式

问题是求级数:$\sum\limits_{i=0}^\infty A^i$,其中(0<A<1)的和。

求解过程如下）

令$S = \sum\limits_{i=0}^\infty A^i$,

即$S = 1 + A^2 + A^3 + .A^4 + A^5 + ...$

等式两边同时乘以A，得到:

$AS = A + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 + ...$

上下两个式子相减，得到:

$S - AS = 1$

这也就是说:

$S = \frac{1}{1 - A}$

 

而对于多项式:$\sum\limits_{i=0}^N A^i$，通过等比数列的公式可知，$\sum\limits_{i=0}^N A^i = \frac{A^{N+1} - 1}{1 - A}$。如果0<A<1，则:$\sum\limits_{i=0}^N A^i \leq \frac{1}{1 - A}$