真实感渲染：变换（二维与三维）

大家好~本课程为“真实感渲染”的线上课程，从0开始，介绍相关的图形学算法和数学基础，给出详细的数学推导、伪代码和实现代码，最终带领大家开发出基于物理的渲染器

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回顾相关课程
为什么要学习本课
主问题：什么是2D变换
主问题：什么是齐次坐标
- 为什么要引入“齐次坐标”
主问题：更多的2D变换有哪些
主问题：什么是3D变换
总结
参考资料
扩展阅读

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什么是矩阵？

为什么要学习本课

3D中物体有哪些变换？
答：平移、旋转、缩放
演示相关的变换
3D到2D的投影需要进行变换

主问题：什么是2D变换

如何进行缩放？
- 缩放矩阵是多少？
  答： $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
- 如何进行反射？
  - 反射矩阵是多少？
    答： $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
如何进行旋转？

默认为绕着原点（0, 0）逆时针旋转
- 旋转矩阵是多少？
  
  $R_\theta = \begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix}$
  答： $R_\theta = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

推导过程如下图所示：

通过变换(1,0)点，可以得到矩阵的A、C值：

同理，通过变换(0,1)点，可以得到矩阵的B、D值

什么是线性变换？
答：
缩放和旋转是否属于线性变换？
答：是
如何进行平移？
- 它的表达式是什么？
  答：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] + [\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix}$

如何进行平移？
- 能够得到2D的平移矩阵吗？
  答：不能
- 平移属于线性变换吗？
  答：不属于

主问题：什么是齐次坐标

为什么要引入“齐次坐标”

如何才能统一缩放、旋转、平移为都使用一个矩阵来变换？
答：引入齐次坐标
什么是齐次坐标？
答：
向量+向量=?
答：向量
点-点=?
答：向量
点+向量=?
答：点
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = ? \\ 其中：w \neq 0$
答：
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = 2D 点： \begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\ 1 \end{bmatrix}$
点+点=?
答：因为相加的结果经过上面的变换后，可变换为点，所以相加的结果为点
用加了齐次坐标的矩阵来表达平移的表达式是什么？
答：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x + t_{x} \\ y + t_{y} \\ 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{bmatrix}$

主问题：更多的2D变换有哪些

什么是仿射变换？
答：
用齐次坐标后如何修改？
答：
用齐次坐标后，缩放、旋转、平移的矩阵是什么？
答：
什么是逆变换？
答：
如何进行组合变换？
- 如何进行下图的变换？
答：有两种方式：先位移再旋转和先旋转再位移

变换的顺序对结果有影响！

这里应该使用先旋转再位移，表达式为：

如何进行组合变换？
- 如何提高性能？
  答：
- 如何绕一个点旋转？
  答：
- 表达式是什么？
  答：

主问题：什么是3D变换

什么是3D的齐次坐标？
答：
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ w \end{bmatrix} = ? \\ 其中：w \neq 0$
答：
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ w \end{bmatrix} = 3D 点： \begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\ \frac{z}{w} \\ 1 \end{bmatrix}$
什么是3D的仿射变换？
答：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] + [\begin{matrix} t_{x} \\ t_{y} \\ t_{z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b& c \\ d & e& f \\ g & h& i \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \\ t_z \\ \end{bmatrix}$

用齐次坐标后如何修改？
答：

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b & c & t_{x} \\ d & e & f & t_{y} \\ g & h & i & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b& c & t_x \\ d & e& f & t_y \\ g & h& i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{bmatrix}$