真实感渲染：三角函数、向量和矩阵

大家好~本课程为“真实感渲染”的线上课程，从0开始，介绍相关的图形学算法和数学基础，给出详细的数学推导、伪代码和实现代码，最终带领大家开发出基于物理的渲染器

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为什么要学习本课
主问题：什么是三角函数
主问题：什么是向量
- 结学
主问题：什么是矩阵
- 结学
总结
参考资料

为什么要学习本课

如何在几何上表示向量的加法？
如何在代数上计算向量的加法？
三角函数、向量、矩阵在图形学中有哪些应用？

主问题：什么是三角函数

对直角三角形而言，下面的三角函数的值分别是多少？
- sinθ
- cosθ
- tanθ
- cotθ
对任意三角形而言呢？
三角函数在图形学中有哪些应用？
- 已知三角函数的值后，可以计算出角度：\(\arcsin\frac{1}{2} = 30^o\)
- 已知直角三角形的一边和一个角度，可以计算另外一边

主问题：什么是向量

用什么符号表示向量？

答：使用\(\overrightarrow{a}\)或者粗体a表示；
或者用起点和终点表示：\(\overrightarrow{AB} = B - A\)
向量有什么特性？
答：具有方向和长度；
没有绝对的起点；
如何用代数表示向量？
答：

用什么符号表示向量的长度？
答：\(\Vert{\overrightarrow{a}}\Vert\)
什么是单位向量？
答：长度为1的向量
如何计算一个向量的单位向量（向量正交化）？
答：\(\widehat{a}=\frac{\overrightarrow{a}} {\Vert{\overrightarrow{a}}\Vert}\)
如何应用单位向量？
答：用来表示方向，如法线
如何计算向量的加法？
- 几何上
  答：
- 代数上
  答：略
向量的点积的定义是什么？
答：

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = {\Vert{\overrightarrow{a}}\Vert} {\Vert{\overrightarrow{b}}\Vert} cos\theta \]

对于两个单位向量，点积是多少？
答：\(\widehat{a} \cdot \widehat{{b}} = cos\theta\)
点积满足什么运算法则？
答：
如何进行点积的代数运算？
答：
点积在图形学中有哪些应用？
- 计算两个向量的夹角
  答：通过“两个单位向量的点积”，得到\(cos\theta\)，然后就可以得到夹角。这可以应用于计算光源方向和表面法线的夹角
- 计算一个向量到另一个向量的投影
  答：
- 分解一个向量
  答：
- 决定向量的前/后关系
答：

如上图所示，如果两个向量都在一个半圆内，则它们属于“前”关系(如\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\))；否则，则它们属于“后”关系（如\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\)）

如果两个向量点积大于0，则\(cos\theta>0\)，所以\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2})\)，它们属于“前”关系；否则，它们属于“后”关系
向量的叉积的定义是什么？
答：
叉积满足什么运算法则？
答：
如何进行叉积的代数运算？
答：
叉积在图形学中有哪些应用？
- 构建坐标系
  答：
  右手坐标系：
  
  如上图所示，通过两个正交的单位向量的叉积来构建坐标系第三维的向量
- 决定向量的左/右关系
  答：
  如上图所示，假设\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)在xy平面，如果\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = +\overrightarrow{z}\)，则\(\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}\)的左侧；否则在右侧
- 判断一个点是否在三角形内
  答：
  分别判断上图的AB和AP、BC和BP、CA和CP，如果它们叉乘的结果同号，则点在三角形内。