神经网络前向和后向传播推导（一）：前向传播和梯度下降

大家好~本文介绍了前向传播、梯度下降算法，总结了神经网络在训练和推理阶段执行的步骤。

在后面的文章中，我们会从最简单的神经网络开始，不断地增加不同种类的层（如全连接层等），推导每种层的前向传播、后向传播、梯度计算、权重和偏移更新的数学公式

神经网络前向和后向传播推导（一）：前向传播和梯度下降
神经网络前向和后向传播推导（二）：全连接层

目录

• 神经元
• 神经网络
• 前向传播
• 梯度下降
• 总结
• 参考资料

神经元

如上图所示，一个神经元具有一个偏移值b和多个权重值w，接受多个输入值x，返回一个输出值y

计算公式为：

\[y=f(\vec{w}^T\cdot\vec{x}+b) \]

其中：

\[\vec{w} = [w_1, w_2] \]

\[\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} \]

\[f为激活函数 \]

我们可以将\(b\)表示为\(w_b\)，合并到\(\vec{w}\)中；并且把\(y\)表示为向量。这样就便于向量化编程
计算公式变为：

\[\vec{y}=f(\vec{w}^T\cdot\vec{x}) \]

其中：

\[\vec{w} = [w_1, w_2, w_b] \]

\[\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ 1 \\ \end{bmatrix} \]

\[\vec{y} = \begin{bmatrix} y \end{bmatrix} \]

神经网络

一个神经网络由多层组成，而每层由多个神经元组成。
如下图所示是一个三层神经网络，由一层输入层+两层全连接层组成：

这个网络中最左边的层称为输入层，包含输入神经元；最右边的层称为输出层，包含输出神经元；中间的层则被称为隐藏层

本文以该神经网络为例进行推导

前向传播

从输入层开始，输入层的输出作为隐藏层的输入传入隐藏层，计算出输出：\(\overrightarrow{y_{隐藏层}}\)；
\(\overrightarrow{y_{隐藏层}}\)作为输出层的输入传入输出层，计算出输出：\(\overrightarrow{y_{输出层}}\)，作为整个网络的输出。

公式为：

\[\overrightarrow{y_{隐藏层}}=f(W_{隐藏层}\cdot\vec{x}) \]

\[\overrightarrow{y_{输出层}}=f(W_{输出层}\cdot\overrightarrow{y_{隐藏层}}) \]

其中：\(W\)为权重矩阵

这就是前向传播算法，也就是从输入层开始，依次传入每层，直到输出层，从而得到每层的输出。

前向传播用来做什么呢？它在训练和推理阶段都有使用：
在训练阶段，前向传播得到了输出层的输出和其余各层的输出，其中计算正确率需要前者，计算后向传播需要前者和后者；
在推理阶段，前向传播得到了输出层的输出，作为推理的结果。比如根据包含一个人的体重、身高这样的一个样本数据，得到了这人是男人还是女人的输出。

梯度下降

推理阶段使用前向传播得到输出值，而前向传播需要知道每层的权重和偏移。
为了在推理阶段能够得到接近真实值的输出值，每层的权重和偏移应该是某个合适的值。那么合适的值应该是多少呢？
我们可以在训练阶段给每层一个初始的权重和偏移（比如说都设为0）；然后输入大量的样本，不断地更新每层的权重和偏移，使得它们逐渐接近合适的值。
那么，什么值才是合适的值呢？
我们可以构建一个目标函数，用来在训练阶段度量输出层的输出值和真实值的误差大小：

\[e=E(\overrightarrow{y_{输出层}}, \overrightarrow{y_{真实}}) \]

其中\(\overrightarrow{y_{输出层}}\)为输出层的输出值，\(\overrightarrow{y_{真实}}\)为真实值，\(E\)为目标函数，\(e\)为误差

当误差\(e\)最小时，输出层的输出值就最接近真实值。因为\(E\)是输出层的权重和偏移(\(\overrightarrow{w_{输出层}}\)）)的函数（因为\(E\)是\(\overrightarrow{y_{输出层}}\)的函数，而\(\overrightarrow{y_{输出层}}\)又是\(\overrightarrow{w_{输出层}}\)的函数，所以\(E\)是\(\overrightarrow{w_{输出层}}\)的函数），所以此时的\(\overrightarrow{w_{输出层}}\)就是合适的值

如何求\(E\)的最小值点呢？对于计算机来说，可以一步一步的去把函数的极值点试出来，如下图所示：

首先，我们随便选择一个点开始，比如上图的\(x_0\)。接下来，每次迭代修改\(X\)为\(x_1, x_2, x_3\)......经过数次迭代后最终达到函数最小值点。

你可能要问了，为啥每次修改\(X\)，都能往函数最小值那个方向前进呢？这里的奥秘在于，我们每次都是向函数\(y=f(x)\)的梯度的相反方向来修改\(X\)。
什么是梯度呢？梯度是一个向量，它指向函数值上升最快的方向。显然，梯度的反方向当然就是函数值下降最快的方向了。
我们每次沿着梯度相反方向去修改\(X\)，当然就能走到函数的最小值附近。
之所以是最小值附近而不是最小值那个点，是因为我们每次移动的步长不会那么恰到好处，有可能最后一次迭代走远了越过了最小值那个点。步长的选择是门手艺，如果选择小了，那么就会迭代很多轮才能走到最小值附近；如果选择大了，那可能就会越过最小值很远，收敛不到一个好的点上。

按照上面的讨论，我们就可以写出梯度下降算法的公式：

\[x_{new}=x_{old}-\eta\frac{df(x)}{dx} \]

其中\(\frac{df(x)}{dx}\)是梯度，\(\eta\)是步长，也称作学习率

只要把\(f\)替换为\(E\)，\(X\)分别替换为\(W_{输出层}\)、\(W_{隐藏层}\)，\(x_0\)分别替换为初始的\(\overrightarrow{w_{输出层}}\)、初始的\(\overrightarrow{w_{隐藏层}}\)，就可以得到使\(E\)达到最小值的梯度下降算法的公式：

\[W_{输出层new} = W_{输出层old} - \eta\frac{dE}{dw_{输出层}} \\ W_{隐藏层new} = W_{隐藏层old} - \eta\frac{dE}{dw_{隐藏层}} \]

其中\(W_{输出层new}\)为输出层的权重矩阵，\(W_{隐藏层new}\)为隐藏层的权重矩阵，\(w_{输出层}\)为输出层的权重值，\(w_{隐藏层}\)为隐藏层的权重值，

总结

神经网络的使用可以分成两个阶段：
训练和推理

训练阶段

先进行前向传播，得到每层的输出；
然后进行后向传播，根据每层的误差项而计算出上一层的误差项，并且计算每层的梯度（关于后向传播详见神经网络前向和后向传播推导（二）：全连接层->推导后向传播）；
最后按照梯度下降算法，更新每层的权重和偏移。

可以用下面的公式来表达训练：
每层的权重和偏移=训练(大量的样本)

\[W=训练(\sum_{} \overrightarrow{样本_i}) \]

其中\(W\)为包含每层的权重和偏移向量的矩阵

推理阶段

使用训练阶段得到的每层的权重和偏移，进行前向传播，得到输出层的输出作为推理结果。

可以用下面的公式来表达推理：

\[\overrightarrow{y_{输出层}}=推理(\overrightarrow{样本_i}, W) \]

参考资料

零基础入门深度学习 | 第二章：线性单元和梯度下降
零基础入门深度学习 | 第三章：神经网络和反向传播算法