数据结构

什么是数据结构

决定了数据顺序和位置关系

数据存储于计算机的内存中。内存如下图所示，形似排成1列的箱 子，1个箱子里存储 1个数据。 数据存储于内存时，决定了数据顺序和位置关系的便是“数据结构”

选择合适的数据结构以提高内存的利用率

将数据存储于内存时，根据使用目的选择合适的数据结构，可以提高内存的利用率。 数据在内存中是呈线性排列的，但是我们也可以使用指针等道具，构造出类似“树形”的复杂结构

链表

链表是数据结构之一，其中的数据呈线性排列。在链表中，数据的添加和删除都较为方便， 就是访问比较耗费时间。

这就是链表的概念图。Blue、Yellow、Red这3个字符串作为数据被存储于链表中。每个数据都有1个 “指针”，它指向下一个数据的内存地址。

在链表中，数据一般都是分散存储于内存中的，无须存储在连续空间内。

因为数据都是分散存储的，所以如果想要访问数据，只能从第1个数据开始，顺着指针的指 向一一往下访问（这便是顺序访问）。比如，想要找到Red这一数据，就得从Blue开始访问。

这之后，还要经过Yellow，我们才能找到Red。

如果想要添加数据，只需要改变添加位置前后 的指针指向就可以，非常简单。比如，在Blue 和Yellow之间添加Green。

将Blue的指针指向的位置变成 Green，然后再 把Green的指针指向Yellow，数据的添加就大功告成了。

数据的删除也一样，只要改变指针的指向就可以，比如删除Yellow。

这时，只需要把Green指针指向的位置从Yellow变成Red，删除就完成了。虽然Yellow本身还存储在 内存中，但是不管从哪里都无法访问这个数据，所以也就没有特意去删除它的必要了。今后需要用到 Yellow所在的存储空间时，只要用新数据覆盖掉就可以了。

解说

对链表的操作所需的运行时间到底是多少呢？在这里，我们把链表中的数据量记成 n。访问数据时，我们需要从链表头部开始查找（线性查找），

如果目标数据在链表最后的话，需要的时间就是 O(n)。 另外，添加数据只需要更改两个指针的指向，所以耗费的时间与n 无关。

如果已经到达了添加数据的位置，那么添加操作只需花费O(1) 的时间。删除数据同样也只需 O(1) 的时间。

补充说明

上文中讲述的链表是最基本的一种链表。除此之外，还存在几种扩展方便的链表。 虽然上文中提到的链表在尾部没有指针，

但我们也可以在链表尾部使用指针，并且让它指向链表头部的数据，将链表变成环形。这便是“循环链表”，也叫“环形链表”。

循环链表没有头和尾的概念。想要保存数量固定的最新数据时通常会使用这种链表。

另外，上文链表里的每个数据都只有一个指针，但我们可以把指针设定为两个，并 且让它们分别指向前后数据，这就是“双向链表”。

使用这种链表，不仅可以从前往后， 还可以从后往前遍历数据，十分方便。 但是，双向链表存在两个缺点：

一是指针数的增加会导致存储空间需求增加；

二是 添加和删除数据时需要改变更多指针的指向。 

数组

数组也是数据呈线性排列的一种数据结构。与前一节中的链表不同，在数组中，访问数据十分简单，而添加和删除数据比较耗工夫。

这就是数组的概念图。Blue、Yellow、Red作为数据存储在数组中。

数据按顺序存储在内存的连续空间内。

由于数据是存储在连续空间内的，所以每个数据的内存地址（在内存上的位置）都可以通过数组下标算出，我们也就可以借此直接访问目标数据（这叫作“随机访问”）。

比如现在我们想要访问Red。如果使用指针就只能从头开始查找，但在数组中，只需要指定 a[2]，便能直接访问Red。

但是，如果想在任意位置上添加或者删除数 据，数组的操作就要比链表复杂多了。这里我 们尝试将Green添加到第2个位置上。

首先，在数组的末尾确保需要增加的存储空间。 

为了给新数据腾出位置，要把已有数据一个个移开。首先把Red往后移。

然后把Yellow往后移。

最后在空出来的位置上写入Green。

添加数据的操作就完成了。

反过来，如果想要删除Green…… 

首先，删掉目标数据（在这里指Green）。

然后把后面的数据一个个往空位移。先把 Yellow往前移。

接下来移动Red。

最后再删掉多余的空间。这样一来Green便被删掉了。

解说

补充说明

在链表和数组中，数据都是线性地排成一列。在链表中访问数据较为复杂，添加和 删除数据较为简单；而在数组中访问数据比较简单，添加和删除数据却比较复杂。 我们可以根据哪种操作较为频繁来决定使用哪种数据结构。

栈

栈也是一种数据呈线性排列的数据结构，不过在这种结构中，我们只能访问最新添加的数 据。栈就像是一摞书，拿到新书时我们会把它放在书堆的最上面，取书时也只能从最上面的新 书开始取。

这就是栈的概念图。现在存储在栈中的只有数据Blue。

然后，栈中添加了数据Green。 

接下来，数据Red入栈。

从栈中取出数据时，是从最上面，也就是最新 的数据开始取出的。这里取出的是Red。

如果再进行一次出栈操作，取出的就是Green了。

解说

应用示例

队列

与前面提到的数据结构相同，队列中的数据也呈线性排列。虽然与栈有些相似，但队列中 添加和删除数据的操作分别是在两端进行的。就和“队列”这个名字一样，把它想象成排成一 队的人更容易理解。

在队列中，处理总是从第一名开始往后进行，而新来的人只能排在队尾。

这就是队列的概念图。现在队列中只有数据Blue。

然后，队列中添加了数据Green。 

紧接着，数据Red也入队了。

从队列中取出（删除）数据时，是从最下面，也就 是最早入队的数据开始的。这里取出的是Blue。

如果再进行一次出队操作，取出的就是Green了。

解说

应用示例

哈希表

在哈希表这种数据结构中，讲解“哈希函数”的时候，可以使数据的查询效率得到显著提升。 

哈希表存储的是由键（key）和值（value）组 成的数据。例如，我们将每个人的性别作为数 据进行存储，键为人名，值为对应的性别。

为了和哈希表进行对比，我们先将这些数据存 储在数组中

此处准备了6个箱子（即长度为6的数组）来存 储数据。假设我们需要查询Ally的性别，由于 不知道Ally的数据存储在哪个箱子里，所以只 能从头开始查询。这个操作便叫作“线性查找” 

提示

0号箱子中存储的键是Joe而不是Ally。 

1号箱子中的也不是Ally。

同样，2号、3号箱子中的也都不是Ally。

查找到4号箱子的时候，发现其中数据的键为 Ally。把键对应的值取出，我们就知道Ally的性 别为女（F）了。

数据量越多，线性查找耗费的时间就越长。由 此可知 ：由于数据的查询较为耗时，所以此处 并不适合使用数组来存储数据。

但使用哈希表便可以解决这个问题。首先准 备好数组，这次我们用5个箱子的数组来存储 数据。

尝试把Joe存进去。 

使用哈希函数（Hash）计算Joe的键，也就是 字符串“Joe”的哈希值。得到的结果为4928 

将得到的哈希值除以数组的长度5，求得其余 数。这样的求余运算叫作“mod运算”。此处 mod运算的结果为3。

因此，我们将Joe的数据存进数组的3号箱 子中。重复前面的操作，将其他数据也存进数 组中。

Sue键的哈希值为7291，mod 5的结果为1， 将Sue的数据存进1号箱中。

Dan键的哈希值为1539，mod 5的结果为4， 将Dan的数据存进4号箱中。

Nell键的哈希值为6276，mod 5的结果为1。本应将其存进数组的1号箱中，但此时1号箱中已经 存储了Sue的数据。这种存储位置重复了的情况便叫作“冲突”。

遇到这种情况，可使用链表在已有数据的后面 继续存储新的数据。

Ally键的哈希值为9143，mod 5的结果为3。 本应将其存储在数组的3号箱中，但3号箱中 已经有了Joe的数据，所以使用链表，在其后 面存储Ally的数据。

Bob键的哈希值为5278，mod 5的结果为3。 本应将其存储在数组的3号箱中，但3号箱中 已经有了Joe和Ally的数据，所以使用链表， 在Ally的后面继续存储Bob的数据。

像这样存储完所有数据，哈希表也就制作完 成了。

接下来讲解数据的查询方法。假设我们要查询 Dan的性别。

为了知道Dan存储在哪个箱子里，首先需要算出 Dan键的哈希值，然后对其进行mod运算。最后得 到的结果为4，于是我们知道了它存储在4号箱中。

查看4号箱可知，其中的数据的键与Dan一致， 于是取出对应的值。由此我们便知道了Dan的 性别为男（M）。

那么，想要查询Ally的性别时该怎么做呢？为 了找到它的存储位置，先要算出Ally键的哈希 值，再对其进行mod运算。最终得到的结果为3。

然而3号箱中数据的键是Joe而不是Ally。此 时便需要对Joe所在的链表进行线性查找。

于是我们找到了键为Ally的数据。取出其对应 的值，便知道了Ally的性别为女（F）。

解说

补充说明

堆

堆是一种图的树形结构，被用于实现“优先队列”（priority queues）。优先队列是一种数据结构，可以自由添加数据，但取出数据时要从最小值开始按顺 序取出。在堆的树形结构中，各个顶点被称为“结点”（node），数据就存储在这些结点中。 

这就是堆的示例。结点内的数字就是存储的数据。堆中的每 个结点最多有两个子结点。树 的形状取决于数据的个数。另 外，结点的排列顺序为从上到下，同一行里则为从左到右。

在堆中存储数据时必须遵守这样一条规则：子结点必定大于父结点。因此，最小值被存储在顶 端的根结点中。往堆中添加数据时，为了遵守这条规则，一般会把新数据放在最下面一行靠左的位置。当最下面一行里没有多余空间时，就再往下另起一行， 把数据加在这一行的最左端。

我们试试往堆里添加数字5。

首先按照第二幅图的说明寻找新数据的位置。该图中最下面一排空着一个位置，所以将数据加在此处。

如果父结点大于子结点，则不符合上文提到的规则，因此需要交换父子结点的位置。

这里由于父结点的6大于子结点的5，所以交换了这两个数字。重复这样的操作直到数据都符合规则，不再需要交换为止。

现在，父结点的1小于子结点的5，父结点的数字更小，所以不再交换。

这样，往堆中添加数据的操作就完成了。 

从堆中取出数据时，取出的是最上面的数据。 这样，堆中就能始终保持最上面的数据最小。

由于最上面的数据被取出，因此堆的结构也需 要重新调整。

按照第一幅图中说明的排列顺序，将最后的数据（此 处为6）移动到最顶端。

如果子结点的数字小于父结点的，就将父结点 与其左右两个子结点中较小的一个进行交换。

这里由于父结点的6大于子结点（右）的5大于子 结点（左）的3，所以将左边的子结点与父结点进 行交换。重复这个操作直到数据都符合规则，不 再需要交换为止。

现在，子结点（右）的8大于父结点的6大于子 结点（左）的4，需要将左边的子结点与父结点 进行交换。

这样，从堆中取出数据的操作便完成了。

解说

应用示例

二叉查找树

二叉查找树（又叫作二叉搜索树或二叉排序树）是一种数据结构，采用了图的树形结构 。数据存储于二叉查找树的各个结点中。 

这就是二叉查找树的示 例。结点中的数字便是 存储的数据。此处以不 存在相同数字为前提进 行说明。

二叉查找树有两个性质。第一个是每个结点的 值均大于其左子树上任意一个结点的值。比如 结点9大于其左子树上的3和8。

同样，结点15也大于其左子树上任意一个结 点的值。

第二个是每个结点的值均小于其右子树上任意 一个结点的值。比如结点15小于其右子树上的 23、17和28。

根据这两个性质可以得到以下结论。首先，二 叉查找树的最小结点要从顶端开始，往其左下 的末端寻找。此处最小值为3。

反过来，二叉查找树的最大结点要从顶端开 始，往其右下的末端寻找。此处最大值为28。

下面我们来试着往二叉查找树中添加数据。比 如添加数字1。

首先，从二叉查找树的 顶端结点开始寻找添加 数字的位置。将想要添 加的1与该结点中的值 进行比较，小于它则往 左移，大于它则往右移。

由于1＜9，所以将1往左移。

由于1＜3，所以继续将1往左移，但前面已经没 有结点了，所以把1作为新结点添加到左下方。

这样，1的添加操作便完成了。

 

接下来，我们再试试添加数字4。

和前面的步骤一样， 首先从二叉查找树 的顶端结点开始寻 找添加数字的位置。

由于4＜9，所以将其往左移。 

由于4＞3，所以将其往右移。.

由于4＜8，所以需要将其往左移，但前面已经没 有结点了，所以把4作为新结点添加到左下方。

于是4的添加操作也完成了。

接下来看看如何在二叉查找树中删除结点。比 如我们来试试删除结点28。

如果需要删除的结点没有子结点，直接删掉该 结点即可。

再试试删除结点8。 

如果需要删除的结点只有一个子结点，那么先 删掉目标结点……

然后把子结点移到被删除结点的位置上即可。

最后来试试删除结点9。

如果需要删除的结点有两个子结点，那么先删 掉目标结点……

然后在被删除结点的左子树中寻找最大结 点……

最后将最大结点移到被删除结点的位置上。这样一来，就能在满足二叉查找树性质的前提下删除结点了。 如果需要移动的结点（此处为4）还有子结点，就递归执行前面的操作

下面来看看如何在二叉查找树中查找结点。比 如我们来试试查找12。

从二叉查找树的顶端结点开始往下查找。和添 加数据时一样，把12和结点中的值进行比较， 小于该结点的值则往左移，大于则往右移。

提示

由于12＞4，所以往右移。 

找到结点12了。

解说

补充说明