回溯法——以P1220 皇后摆放问题为例
回溯法
算法思想:
(通用的解题法)穷举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解,当发现不满足求解条件时就回退,尝试其他路径
回溯法的解题步骤:
- 针对给定问题确定问题的解空间树,至少包含问题的一个解或者最优解
- 确定结点的扩展搜索规则
- 以深度优先搜索解空间树,并采取剪枝手段。
框架:
-
非递归回溯框架
int x[n] //x存放解向量,全局变量 void backtrack(int n){ int i = 1; //根节点的层次为1 while(i>=1){ //尚未回溯到头 if(ExistSubNode(t)){ //当前结点存在子节点 for(j=下界;j<=上界;j++){ //对于子集树,j从0到1循环 x[i]取一个可能的值; if(constraint(i)&&bound(i)){ //x[i]满足约束条件和界限函数 if(x是一个可行的解) 输出x; else i++; //进入下一个层次 } } } else i--; //不存在子节点,返回上一层 } }
-
递归回溯框架
int x[n] void backtrack(int i){ if(i>n) //搜索叶子结点,输出一个可行解 输出结果; else{ for(j=下界;j<=上界;j++){ //用j枚举i所有可能的路径 x[i] = j; //产生一个可能的解分量 ... if(constraint(i)&&bound(i)) backtrack(i+1) //满足约束条件继续下一层 } } }
result = [] def backtrack(路径, 选择列表): if 满足结束条件: result.add(路径) return for 选择 in 选择列表: 做选择 backtrack(路径, 选择列表) 撤销选择
例题:皇后摆放问题:
题目描述
国际象棋的棋盘可以看做是一个 8 × 8 的矩阵,上面每一个格子仅能放一枚棋子,现在给出一个 8 × 8 的由 0 和 1 组成的矩阵,代表象棋棋盘,1 代表当前位置放置了一个皇后,0 则代表什么都没有放,上面有 n(n 为小于 8 的正整数)个位置已经放上了皇后棋子(相互之间不冲突,合理摆放),现在另外给你 8 - n 个皇后,问你有多少合理的摆法。
输入描述
一个 8 × 8 的由 0 和 1 组成的矩阵。
输出描述
一个整数,为摆放的种类数。
样例输入
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
样例输出
4
问题分析
判断某位置是否可以摆放皇后
假设i行j列处已摆放上一个皇后,则下面摆放的皇后(x,y)则不能在i行和j列(即x!=i && y!=j),且不能在已摆放皇后对角线上(即abs(x-i)!=abs(y-j))。
搜索算法
通过初始化,我们可以知道哪些位置有了皇后。通过一个路径数组path[9]来记录(1~8)行哪一列有皇后。还未探索到的行,数组赋值0。
用回溯法,从第一行开始往下,测试1~8列是否能够摆放,能则继续往下探索,不能则返回上一层。
AC代码:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int path[9];
//判断某位置是否可以摆放皇后
bool pd(int x){
for(int i=1;i<=8;i++){
if(path[i]!=0 &&i!=x && (path[i]==path[x] || abs(i-x)==abs(path[i]-path[x]))){
return false;
}
}
return true;
}
//搜索算法
void backtrace(int x,int &sum){
if(x==9){
sum++;
return;
}
if(!path[x]){
for(int i=1;i<=8;i++){
path[x] = i;
if(pd(x)) backtrace(x+1,sum);
path[x] = 0;
}
}
else backtrace(x+1,sum);
}
int main(){
int x,sum = 0;
memset(path,0,sizeof(path));
for(int i=1;i<9;i++){
for(int j=1;j<9;j++){
cin>>x;
if(x==1){
path[i]=j;
}
}
}
backtrace(1,sum);
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
一篇好文章:
https://blog.csdn.net/gongdamrgao/article/details/111414815
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