蓝桥杯Python——day4前缀和与差分
前缀和
数值数组A,前缀和数组S,满足如下定义
S[i] = A[0] + A[1] +…+A[i]
应用:求一段数的和
A[i ~ j] = S[j] - S[i - 1]
使得原本O(n)的操作,只需要O(1)
例题:
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问,每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问,输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数,表示整数数列。
接下来 m 行,每行包含两个整数 l 和 r,表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行,每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例:
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例:
3
6
10
n, m= map(int, input().split())
nums = list(map(int, input().split()))
s = [0] * (len(nums) + 1)
for i in range(1, len(nums) + 1) :
s[i] = s[i - 1] + nums[i - 1]
for i in range(m) :
l, r = map(int, input().split())
print(s[r] - s[l - 1])
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵,再输入 q 个询问,每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 n,m,q。
接下来 n 行,每行包含 m 个整数,表示整数矩阵。
接下来 q 行,每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2,表示一组询问。
输出格式
共 q 行,每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例:
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例:
17
27
21
n, m, q = map(int, input().split())
arr = []
for i in range(n) :
arr.append(list(map(int, input().split())))
s=[[0]*(m + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1) :
for j in range(1, m + 1) :
if i == 1 and j == 1:
s[i][j] = arr[0][0]
elif i ==1 :
s[i][j] = s[i][j - 1] + arr[i - 1][j - 1]
elif j == 1 :
s[i][j] = s[i - 1][j] + arr[i - 1][j - 1]
else :
s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j - 1]
# print(s[i][j], end=" ")
# print()
for i in range(q) :
x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split())
print(s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1])
小结
一些小细节,在于处理边界问题时,可以将前缀数组最外层设为0,方便于统一操作和递推
差分
例题
差分是前缀和的逆过程,假设数组A和数组B,
数组B的前i个元素和恰好等于A数组的第i个元素。我们称B数组为A数组的差分数组
应用:可以对一段连续的数进行统一操作
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作,每个操作包含三个整数 l,r,c,表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数,表示整数序列。
接下来 m 行,每行包含三个整数 l,r,c,表示一个操作。
输出格式
共一行,包含 n 个整数,表示最终序列。
数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例:
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例:
3 4 5 3 4 2
n, m = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))
b = [0] * (n + 2)
def insert(l, r, c) :
global b
b[l] += c
b[r + 1] -=c
for i in range(1, n + 1) :
insert(i, i, a[i - 1])
for i in range(m) :
l, r, c = map(int, input().split())
insert(l, r, c)
for i in range(1, n + 1) :
b[i] += b[i - 1]
for i in range(1, n + 1) :
print(b[i], end= ' ')
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵,再输入 q 个操作,每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c,其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行,每行包含 m 个整数,表示整数矩阵。
接下来 q 行,每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c,表示一个操作。
输出格式
共 n 行,每行 m 个整数,表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例:
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例:
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
import copy
n, m, q = map(int, input().split())
a = []
for i in range(n) :
a.append(list(map(int, input().split())))
b = [[0] * (m + 2) for _ in range(n + 2)]
def insert(x1, y1 , x2, y2, c) : #要引用全局变量一定要声明
global b
b[x1][y1] += c
b[x2 + 1][y1] -= c
b[x1][y2 + 1] -= c
b[x2 + 1][y2 + 1] += c
for i in range(1, n + 1) :
for j in range(1, m + 1) :
insert(i, j, i, j, a[i - 1][j - 1])
for i in range(q) :
x1, y1, x2, y2, c = map(int, input().split())
insert(x1, y1, x2, y2, c)
# c = copy.deepcopy(b)
c = b[:]
for i in range(1, n + 1) :
for j in range(1, m + 1) :
b[i][j] = b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1] + c[i][j]
print(b[i][j], end=" ")
print()
小结
细节方面:由于对于差分数组的初始化需要对左边界进行加操作,对右边界之后进行减操作,所以在初始化差分数组时要将其额外分配空间,此外在回推操作后的数组(即差分数组的前缀和数组)时,将第一位当成边界初始化为0更易操作。
遇到的问题及解决
数组越界问题按下不表:无非是对于索引的不统一。
对于二维数组的初始化收获有点;
一维数组初始化a = [0]*n,复制并拼接了n个0元素,对于每个索引都是特殊的,没毛病
二维数组初始化:刚开始我是这样初始化的a = [[0] * n] * m,结果当a[0][0] = 1时,所有行的第一位都发生改变:原因是对于a的每一行的复制了同一个[0] * n引用,这属于浅拷贝
正确的打开方式:a = [[] * n for _ in range(m)] //列表解析
函数引用全局变量,一定要声明global
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