欧拉方法解决微分方程初值问题

微分方程初值问题

初值问题\(\begin{cases}y^{\prime}=f(x, y)\\ y(x_{0})=y_{0}\end{cases}\)的解\(y=y(x)\)代表通过点\((x_0, y_0)\)的一条称为微分方程的积分曲线。积分曲线上的每一个点\((x, y)\)的切线斜率等于函数\(y^{\prime}\)在这点的值.

欧拉方法画出函数图像

在最一开始的\((x_0, y_0)\)位置开始，每次我们都给\(x\)一个步长\(\Delta x\)，如果这个步长比较小我们就可以认为\((x, g(x))\)和\((x+\Delta x, g(x+\Delta x))\)两点构成的直线的斜率近似为函数在\(x\)处的导数。

这样每次都画出这样一条“线段”，然后\(x\)跳到\(x+\Delta x\)这个位置，重复上面的过程就可以近似的画出这条直线的图像。

代码实现

import matplotlib.pyplot as plt

x, y = 0.0, 1.0
step = 0.1
X, Y = [x], [y]

def f(x:float, y:float):
    return y - 2 * x / y

while x < 10.0:
    k = f(x, y)
    y = y + k * step
    x = x + step
    X.append(x)
    Y.append(y)

print(X, Y, sep='\n')
plt.plot(X, Y)
plt.show()