CF1364-C. Ehab and Prefix MEXs

题意

给出一个长度为n的数组a，然你找出一个长度为n的数组b，使得：

对于每一个 \(i(1<=i<=n)\) 有\(MEX(b_1,b_2,...,b_i)=a_i\).

\(MEX\)的定义如下：\(MEX(b_1,b_2,...,b_i)\)为最小的不在\(\{b_1,b_2,...,b_i\}\)集合中的非负整数。

题目保证数组\(a\)是非降序的。

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思路

首先考虑到，第一个数字，如果\(a_1\)为\(1\)那么\(b_1\)一定为\(0\)；如果\(a_1\)为\(0\)那么\(b_1\)理论上来说可以是任何数字，之所以说是理论上，是因为这个数字可能对后面会有影响；如果\(a_1\)大于\(1\)那么就不存在这样的数组\(b\)了。

其次考虑到，在\(a_i=a_{i+1}\)的情况下(这里假设\(a_i=x\))，数组中不可能出现数字\(x\)，那出现什么情况数组\(b\)才可以出现数字\(x\)呢？只有当\(a_{i-1}=x\not=a_{i}\)的时候(这里假设\(i=p\))，才能出现数字\(x\)，并且这个数字\(x\)必须在\(b_{p}\)这个位置出现。原因很明显，数字\(x\)之所以能在\(p\)之前得到，一定是因为\(x\)是\(p\)之前最小的，不再集合中的非负整数，如果\(b_p\not=x\)那么当\(i=p\)的时候一定还有\(MEX(b_1,b_2,..,b_p)=x\)，不符合要求，所以\(b_p=x\).

现在对于数组\(b\)，对于每个满足\(a_i\not=a_{i-1}\)的位置都已经确定了数字，对于第一个位置可能能确定数字。之后从头到尾对数组\(a\)扫描一遍，用一个计数器记录不能确定数字的位置个数，当扫描到一个位置有\(a_i\not=a_{i-1}\)的时候，比较计数器的数量是否大于等于\(a_i-a_{i-1}-1\)。原因是要想在\(i\)这个位置有\(MEX(b_1,b_2,...,b_i)=a_i\)必须要把\(a_{i-1}\)到\(a_i-1\)的数字‘填’平，那么你要天平就至少需要\(a_i-a_{i-1}-1\)这么多“空闲”的位置去补充，之所以减去1是因为\(a_{i-1}\)已经在\(b_i\)这个位置补充好了。如果大于那么就把这之间空闲的数字填上去，如果还有空余可以留着给后面的数字补充。

如果最后全部补充完毕还有空闲的数字，那么在不改变\(MEX\)值的情况下可以把这些数字改改成任意值，个人的处理方法是把他们全部变为无穷大。

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AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

const int Maxn = 100005;
const int INF = 100001;

int a[Maxn], b[Maxn];
int p[Maxn], s = 0, t = 0;

void solve() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    if (a[1] != 1) {
        p[t++] = 1;
    } else {
        b[1] = 0;
    }
    bool flag = true;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] != a[i - 1]) {
            b[i] = a[i - 1];
            if (t - s >= a[i] - a[i - 1] - 1) {
                for (int j = a[i - 1] + 1; j <= a[i] - 1; j++) {
                    b[p[s++]] = j;
                }
            } else {
                flag = false;
                break;
            }
        } else {
            p[t++] = i;
        }
    }
    while (s != t) {
        b[p[s]] = INF;
        s++;
    }
    if (flag) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            printf("%d%c", b[i], " \n"[i == n]);
        }
    } else {
        printf("-1\n");
    }
}

int main() {
    solve();
    return 0;
}