【写题解才是正经事】CF396A题解

思路

首先我们已知 $m=\prod_{i=1}^na_i$，而 $1\le a_i \le 10^9,1\le n \le 500$，显然不可能直接将所有 $a_i$ 乘起来，那这一题怎么做呢？

但是题目要求的是所有元素乘起来的值 $\prod_{i=1}^nb_i=m$ 的长度为 $n$ 的数组 $b$ 的总数，而且我们有唯一分解定理：

对于任意一个正整数 $d$，有：

$$d=p_1^{s_1}\times p_2^{s_2}\times ...\times p_u^{s_u}$$

其中 $p_1 < p_2 <...<p_u$ 且均为质数，数组 $s$ 均为正整数。

显然，给一个数的因数分解质因数等价于给这个数分解质因数。

所以对数组 $a$ 的每个元素分解质因数，再去计算满足所有元素分解质因数后与数组 $a$ 所有元素分解质因数的结果相同的 $b$ 数组的总数就好了。

然而问题又来了：怎样计算 $b$ 数组的总数？

设数组 $a$ 的每个元素分解质因数后一共有 $p$ 个不同的质数，第 $i$ 个质数出现了 $c_i$ 次。

根据组合数学隔板法，把问题转化为：假设一种质因数有 $q$ 种，现在有 $n$ 个箱子，每个箱子都可以放一些这个质因数或不放，但总数必须是 $q$ 个，则有：$C^{n-q+1}_{n-1}$ 种放法。

所以最终答案为：

$$\prod^{p}_{i=1}C^{n-c_i+1}_{n-1}$$

计算答案时，可以用 Lucas 定理来求组合数 $C$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;//sqrt(1e9)近似等于 4e5，保险起见开到 5e5
const long long mod=1e9+7;
long long N,k,ans=1;
int p[maxn],v[maxn];
map<long long,long long>mp;
void Prime() {//欧拉筛板子
    for (int i=2;i<= maxn;i++) {
        if (!v[i])p[++p[0]] = i;
        for (int j=1;j<=p[0];j++) {
            if (i*p[j]>maxn) break;
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
long long KSM(long long a,long long b,long long p) {//快速幂板子
    long long ans=1;
    while(b) {
        if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
long long C(long long a,long long b) {
    if(a<b)return 0;
    if(a==b)return 1;
    if(b>a-b)b=a-b;
    long long A=1,B=1;
    for(long long i=0; i<b; ++i) {
        A=(A*(a-i))%mod;
        B=(B*(b-i))%mod;
    }
    return (A*KSM(B,mod-2,mod));
}
long long Lucas(long long n,long long m) {//Lucas板子
    if(m==0)return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
void fj(long long a) {//分解质因数
    for(int i=1; p[i]<=a&&p[i]; i++) while(a%p[i]==0)mp[p[i]]++,a/=p[i];
    if(a!=1)mp[a]++;
}
int main() {
    Prime();
    scanf("%lld",&N);
    for(int i=1; i<=N; i++) {
        scanf("%lld",&k);
        fj(k);
    }
    for(auto it=mp.begin(); it!=mp.end(); it++)ans=ans*Lucas(N+(it->second)-1,N-1)%mod;//使用指针来遍历整个map
    printf("%lld",ans);//输出
}