CF550D题解

题意

题意翻译给的很清楚了，但是在翻译中没有提到输出格式第一行要输出点数和边数。

前置

首先题目要求存在一个桥。

那我们首先得知道什么是桥？

在上面的图中，若我们将 $2$ 和 $3$ 之间的边去掉，那么 ${0,1,2,4,5}$ 和 $3$ 将会构成两个连通块，所以 $2$ 和 $3$ 之间的边就是一个桥。

思路

在前面我们提到了桥的概念，在本题中，要求存在一个桥，那么考虑做一个轴对称，先考虑桥一边的半张图。

这是一个桥。

由于题目要求每个点的度数（连的边的数量）为 $k$，现在点 $1$ 已经连着一个桥了，那么还需要为它连上 $k-1$ 个点，以 $k=3$ 为例。

然而我们又发现 $3,4$ 的度数又为 $1$ 了，怎么办？连成一棵二叉树？

显然不现实。

那么我们加上几个辅助点试一试？那加几个呢？加一个试试？

那这个辅助点的度数又为 $2$，不可行。

那么两个呢？

每个点的度数都为 $3$，可以了！我们构造出了一组 $k=3$ 的解（的一半）。

但这只是 $k=3$ 的特例，那么 $k=5$ 的情况呢？

可以发现，$3,4,5,6$ 的度数为 $3$，那要再加点吗？

只需要两个点就够了！

显然，对于位于中间的 $3,4,5,6$ 来说，它们还需要 $k-2-1=k-3$ 条边，而中间点一共有 $k-1$ 个，除去自己还有 $k-1-1=k-2$ 个，而 $k-2>k-3$，所以只需要在中间点之间连上边就可以满足条件了。

同时，值得注意的是，为了满足条件，$k-1$ 个点至少要两两配对，所以 $k-1$ 为偶数，则 $k$ 只能是奇数。

由于上述中有 $k-2$，所以 $k=1$ 需要特判。

但在输出中要计算点数和边数，这个又怎么算呢？

每一边都有 $2$ 个辅助点， $k-1$ 个中间点，$1$ 个桥的端点，一共 $k-1+2+1=k+2$ 个点，则全图一共有 $(k+2)\times 2$ 个点。

每个点度数都为 $k$，则全图度数为 $(k+2)\times 2\times k$，每条边对度数的贡献是 $2$，则全图边数为 $\frac{(k+2)\times 2\times k}{2}=k\times(k+2)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k;
int du[505];//记录度数
int main(){
    scanf("%d",&k);
   if(k==1)return printf("YES\n2 1\n1 2"),0;//特判
    if(k%2==0)return puts("NO"),0;//不成立
    int k1=k-1;//计算半边的中间点数
    puts("YES");
    printf("%d %d\n",2*(k+2),(k+2)*k);//计算点数和边数
    for(int i=1;i<=2*(k+2);i++)du[i]=3;
    for(int b=0;b<=1;b++){
        for(int i=1;i<=k1;i++){
            printf("%d %d\n",i+(k1+3)*b,(b+1)*(k1+3)-2);//连接辅助点一
            printf("%d %d\n",i+(k1+3)*b,(b+1)*(k1+3)-1);//连接辅助点二
            printf("%d %d\n",i+(k1+3)*b,(b+1)*(k1+3));//连接桥
            for(int j=i+1;j<=k1&&du[i+(k1+3)*b]<k;j++){
                if((i%2==0||j!=i+1)&&j!=i&&du[j+(k1+3)*b]<k)printf("%d %d\n",i+(k1+3)*b,j+(k1+3)*b),du[i+(k1+3)*b]++,du[j+(k1+3)*b]++;//连接其它中间点
            }
        }
        printf("%d %d\n",(b+1)*(k1+3)-2,(b+1)*(k1+3)-1);//为辅助点连边
    }
    printf("%d %d",k1+3,2*k1+6);//连接桥
}