斐波拉契数列的一些杂七杂八的性质

斐波拉契数列指这样一个数列 $F$：

$$ F_{k}=F_{k-1}+F_{k-2} (F_{1}=F_{2}=1,k>2) $$

性质 1

$$\gcd(F_k,F_{k-1})=1$$

证明

根据辗转相除法，得：

$$ \gcd(F_k,F_{k-1})=\gcd(F_k-F_{k-1},F_k)=\gcd(F_{k-2},F_{k-1}) $$

经过 $k-2$ 次递归，得到：$\gcd(F_k,F_{k-1})=\gcd(F_1,F_2)=1$。

性质 2

$$ F_{k+2}-F_{2}=\sum_{i=1}^{k} F_{i} $$

证明

拆分这个式子，得到：

$$ F_{k+2}-F_{2}=F_{k-1}+F_{k}-F_{2}=2F_{k}+F_{k-1}-F_{2} $$

显然：

$$ 2F_{k}+F_{k-1}-F_{2}=F_{k}+2F_{k-1}+F_{k-2}-F_{2} $$

一直拆分得到：

$$ F_{k+2}-F_{2}=F_{k}+F_{k-1}+\dots +2F_{2}+F_{1}-F_{2}=\sum_{i=1}^{k} F_{i}$$