hdoj2604 Queuing（矩阵快速幂）

此题如果直接利用递推关系，处理不好会超内存的。

首先找出递推关系式，先给出递推关系式：( L )=( L - 1 ) + ( L - 3 ) + ( L - 4 )；可以先尝试推导一下，推不出来再看下面的解释。

PS.以前做过一个类似的递推关系的题。

考虑当L=n时的情况，有两种情况：

①.如果最后一个字符为m ：此时，只要前面长度为n-1的串符合要求，则当前长度为n的串必然符合要求。

②.如果最后一个字符为f：此时，无法确定，因为可能存在不符合要求的串，继续分情况讨论

          (1).最后倒数二个字符为f，仍然可能存在不符合要求的串，继续分情况讨论

                  1.倒数第三个字符为f,因为存在fff，所以该种情况必然不符合要求，舍去

                  2.倒数第三个字符为m，仍然有可能不符合要求，再分

                       a.最后第四个字符为f，存在fmf，所以该种情况必然不符合要求，舍去

                       b.最后第四个字符为m,只要前面长度为n-4的串符合要求，则当前长度为n的串必然也符合要求

           (2).最后第二个字符为m，存在可能不符合要求的情况，分

                  1.最后第三个字符为f，存在fmf，此时必然不符合要求舍去

                  2.最后第三个字符为m，只要前面长度为n-3的串的情况符合要求，则当前长度为n的串必然符合要求。

所以讲符合要求的情况相加就得到：( L )=( L - 1 ) + ( L - 3 ) + ( L - 4 ); 

前面已经讲过如果只是用普通递归方法会超内存，所以这里要考虑优化。

怎么优化？先看下面的矩阵相乘的结果：

 

x矩阵是多少会得到后面的矩阵？我们只需考虑后面矩阵的第一行，因为其他元素为0.

第1行第1列的元素我们需要得到f ( n )，因为f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4); 所以我们必须保留f(n-1)，f(n-3)，f(n-4) 所以与之相乘的数必须为1.

所以第1列元素可以确定，为1 0 1 1，注意，是第一列而不是第一行。

根据第一行第二列元素，我们可以确定x矩阵第二列元素：1 0 0 0.

根据第一行第三列元素，我们可以确定x矩阵第三列元素：0 1 0 0.

根据第一行第四列元素，我们可以确定x矩阵第四列元素：0 0 1 0.

所以x矩阵已经确定，所以我们可以得到下面的矩阵乘式：

所以，反复乘以x矩阵就可以得到想要的f(n);

所以可以先求出x矩阵的L-4(不是L)次方，到这就转化为了矩阵快速幂问题。然后在用  f(4)   f(3)  f(2)   f(1)   乘以求次方后的矩阵的第一列元素  ，相加就得到f(n)=res[0][0]*f[4]+res[1][0]*f[3]+res[2][0]*f[2]+res[3[0]*f[1]。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#define maxn 5
using namespace std;
struct mat{
    int a[maxn][maxn];
};
mat mat_mul(mat x,mat y,int Mod){
    mat ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for (int i=0;i<4;i++)
        for (int j=0;j<4;j++)
        for (int k=0;k<4;k++){
            ans.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
            ans.a[i][j]%=Mod;
        }
    return ans;
}
void mat_pow(mat &res,int k,int Mod){   //res的k次方 
    mat c=res;
    k--;
    while (k){
        if (k&1) res=mat_mul(res,c,Mod);
        k>>=1;
        c=mat_mul(c,c,Mod);
    }
}
int main(){
    int l,m;
    while (cin >> l >> m){
        int f[10]={0};
        f[1]=2;f[2]=4;f[3]=6;f[4]=9;
        mat res;
        memset(res.a,0,sizeof(res.a));
        res.a[0][0]=res.a[0][1]=res.a[1][2]=res.a[2][0]=res.a[2][3]=res.a[3][0]=1;
        if (l<=4){
            cout << f[l]%m << endl;
            continue;
        }
        else mat_pow(res,l-4,m);
        int ans=0;
        for (int i=0;i<4;i++){
            ans+=res.a[i][0]*f[4-i]%m;
        }
        cout << ans%m << endl;
    }
}