博弈论

推荐博客：

常见的几种组合博弈：http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6398385.html

SG函数与SG定理：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html

SG函数：https://blog.csdn.net/kamisama123/article/details/77649118

例题：

1.hdoj1846 Brave Game

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

题意：一堆石子，两个人轮流取，要求每次取的个数在$(1-m)$内。问谁获胜。

分析：巴什博弈模板。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int t,n,m; scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if (n%(m+1)==0) printf("second\n"); else printf("first\n");
    }
    return 0;
}

2.hdoj2149 Public Sale

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149

题意：物品初始价值为0，两个人轮流加价，范围为$1-m$，当价值$\ge n$时，获胜。问先手第一次加价多少时，一定获胜。

分析：巴什博弈。保证先手必胜的状态下输出先手应该选择的数值。注意$n \le m$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,m;
    while (~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if (m>=n){
            for (int i=n;i<m;i++) printf("%d ",i);
            printf("%d\n",m);
            continue;
        }
        if (n%(m+1)==0){
            printf("none\n");
            continue;
        }
        printf("%d\n",n%(m+1));
    }
    return 0;
}

3.hdoj2188 选拔志愿者

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2188

题意：物品初始价值为0，两个人轮流加价，范围为$1-m$，当价值$\ge n$时，获胜。问谁获胜。

分析：巴什博弈。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int t,n,m; cin >> t;
    while (t--){
        cin >> n >> m;
        if (n%(m+1)==0) cout << "Rabbit\n";
        else cout << "Grass\n";
    }
    return 0;
}

4.hdoj4767 Stone

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4764

题意：两个人轮流写数，要求后一个数比前一个数大，且范围在$1-m$，第一个写下$\geq n$的人输。

分析：巴什博弈。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,m;
    while (cin >> n >> m){
        if (n+m==0) break;
        if ((n-1)%(m+1)==0) cout << "Jiang\n";
        else cout << "Tang\n";
    }
    return 0;
}

5.hdoj 2147 kiki's game

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147

题意：有一个棋盘，两个人轮流操作，每次可以走左，下，左下三个方向，不可操作的人输。问先手的输赢。

分析：用必败，必胜态分析。

代码：

 6.hdoj2516 取石子游戏

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2516

题意：有一堆石子，两人轮流取，先手第1次可以取任意多个，但不能全部取完。以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完的人获胜。

分析：斐波那契博弈。https://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fib[50];
int main(){
    fib[1]=1; fib[2]=2;
    for (int i=3;i<50;i++) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    ll n;
    while (cin >> n && n){
        int f=1;
        for (int i=1;i<50;i++)
            if (fib[i]==n){
                printf("Second win\n");
                f=0;
            }
        if (f) printf("First win\n");
    }
    return 0;
}

 7.hdoj1527 取石子游戏

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

题意：有两堆石子，两个人轮流取，每次可以在一堆中取任意个，也可以在两堆中取同样多个。取完为胜，问先手的输赢。

分析：威佐夫博弈模板。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a,b;
    while (~scanf("%d%d",&a,&b)){
        if (a>b) swap(a,b);
        double k=(sqrt(5.0)-1.0)/2.0;
        int j=a*k;
        if (a!=j*(int)(k+1)) j++;
        if (a+j==b) cout << "0\n"; else cout << "1\n";
    }
} 

 8.hdoj2177 取(2堆)石子游戏

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2177

题意：有两堆石子，两个人轮流取，每次可以在一堆中取任意个，也可以在两堆中取同样多个。取完为胜，问若先手获胜第一次需要取多少。

分析：威佐夫博弈。输出第一次的方案，性质：对于每一个自然数都属于一个奇异局势。一对自然数的差值对应一个奇异局势。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,m;  double tmp=(sqrt(5)+1)/2.0;
    while (~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if (n+m==0) break;
        if (n>m) swap(n,m);
        int b=(m-n)*tmp;
        if (n==b) printf("0\n");
        else{
            printf("1\n");
            if (b<=n) printf("%d %d\n",b,b+m-n);
            if (n==0 || m==0) printf("0 0\n");
            for (int i=1;i<=m;i++){
                b=i*tmp;
                if (b==tmp) continue;
                if (b==n && b+i<=m) printf("%d %d\n",b,b+i);
                else if (b+i==n && b<=m) printf("%d %d\n",b,b+i);
                else if (b<=n && b+i==m) printf("%d %d\n",b,b+i);
                else if (b+i<=n && b==m) printf("%d %d\n",b,b+i);
            }
        }
    }
    return 0;
} 

9.hdoj1850 Being a Good Boy in Spring Festival

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850

题意：n堆石子，每次可以取一堆中的任意个，问先手获胜的前提下第一次取的方案数有多少。

分析：nim博弈。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[150];
int main(){
    int n;
    while (~scanf("%d",&n)){
        if (n==0) break;
        int flag=0;
        for (int i=0;i<n;i++){
            cin >> a[i];
            flag^=a[i];
        }
        int ans=0;
        for (int i=0;i<n;i++){
            int tmp=flag^a[i];
            if (tmp<a[i]) ans++;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
} 

10.hdoj1847 Good Luck in CET-4 Everybody!

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1847

题意：一堆石子，两个人轮流取，每次可以取2的幂次方个。问先手是否可以获胜。

分析：SG打表。

代码：

#include<iostream> 
using namespace std; 
int main() { 
    int n; 
    while(scanf("%d",&n)==1) { 
        if(n%3==0) 
            cout<<"Cici"<<endl; 
        else 
            cout<<"Kiki"<<endl; 
    } 
    return 0; 
} 

11.hdoj1848 Fibonacci again and again

传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

题意：有三堆石子，两个人轮流取，每次要求取的个数为斐波那契值。问谁会赢。

分析：三堆石子的nim游戏。用SG函数处理，最后取异或和即好。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1010;
int f[maxn],sg[maxn],S[maxn];
void init(){
    f[1]=1; f[2]=2;
    int tot=2;
    for (int i=3;i;i++){
        tot++;
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        if (f[i]>maxn) break;
    }
    //SG
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for (int i=1;i<maxn;i++){
        memset(S,0,sizeof(S)); //标记后继状态 
        for (int j=1;f[j]<=i && j<tot;j++)
            S[sg[i-f[j]]]=1;
        for (int j=0;;j++)
            if (!S[j]){sg[i]=j;break;}
    }
    //for (int i=0;i<=20;i++) cout << sg[i] << endl;
}
int main(){
    int n,m,k;
    init();
    while (~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)){
        if (n+m+k==0) break;
        if (sg[n]^sg[m]^sg[k]) printf("Fibo\n");
        else printf("Nacci\n"); 
    }
    return 0;
}