动态规划求解数组划分问题

题目描述

---

       给定一个整数数组，求是否可以把这个数据划分为和相等的两个部分。

输入输出样例

       输入是一个一维整数数组，输出是一个布尔值，表示是否有满足题目条件的划分方式

Input: [5, 1, 5，11]

Output: true

      满足题目条件的划分方式：[5, 1, 5]和[11]

---

思路：

      本题等价于一个0-1背包问题，设所有数字的总和为sum，我们的目标是选取一部分商品，使得他们的总和为sum/2，这里不需要考虑价值，因此只需要用一个布尔矩阵dp表示状态矩阵，dp[i][j]表示前i个数的和是否为j，转移状态方程为dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]]，即：

（1）如果前i-1个数之和可以为j（dp[i - 1][j]），则前i个数之和肯定也能为j；

（2）如果前i-1个数之和不可以为j，则判断前i-1个数之和是否能为j-nums[i-1]（nums[i-1]其实就是数组第i个值），如果能，则前i-1个数加上第i个数正好为j，则dp[i][j]为true。

代码：

 

#include<vector>
#include<iostream>
#include<numeric>

using namespace std;

bool canPartition(vector<int>& nums) {
    int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
    //如果sum为奇数，则不可能划分为两部分
    if (sum % 2) return false;
    int target = sum / 2, n = nums.size();
    vector<vector<bool>> dp(n + 1, vector<bool>(target + 1, false));
    //使用bool矩阵表示转移状态矩阵
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        //边界条件--保证第i行，j=nums[i-1]列对应的值为True，即它本身
        dp[i][0] = true;
    }
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int j = nums[i - 1]; j <= target; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
        }
    }
    return dp[n][target];
}

int main() {
    vector<int> nums = { 5, 1, 5, 11 };
    bool result = canPartition(nums);
    cout << result << endl;
}

 

       状态矩阵如下：

[[T,  F,  F,  F,  F,  F,  F,  F,  F,  F,  F,  F],]

 [T,  F,  F,  F,  F,  T,  F,  F,  F,  F,  F,  F],

 [T,  T,  F,  F,  F,  T,  T,  F,  F,  F,  F,  F],

 [T,  T,  F,  F,  F,  T,  T,  F,  F,  F,  F,  T],

 [T,  T,  F,  F,  F,  T,  T,  F,  F,  F,  F,  T]]

        dp[4][11]=T，则4个数之和可以为11，满足题目条件。