[BZOJ5093] 图的价值 题解

合集 - 题解(82)

1.[JSOI2008]火星人 题解2024-01-192.[BZOJ3786] 星系探索 题解2024-01-193.[ZJOI2015]幻想乡战略游戏 题解2024-02-034.[SDOI2015] 寻宝游戏2024-02-205.[HNOI2011] 数学作业 题解2024-03-116.[HDU5396] Expression 题解2024-03-237.[NOIP2018] 旅行 题解2024-04-148.[POI2012] Rendezvous 题解2024-04-149.[BZOJ3037] 创世纪 题解2024-04-2010.[HEOI2014]大工程 题解2024-04-2011.[ZJOI2019] 语言 题解2024-04-2112.[国家集训队] 矩阵乘法 题解2024-05-0413.[THUPC2017] 天天爱射击 题解2024-05-0414.[SCOI2007] 蜥蜴 题解2024-05-0515.[SDOI2015] 星际战争 题解2024-05-0516.[国家集训队] happiness 题解2024-05-0917.[SDOI2016] 数字配对 题解2024-05-1918.[SDOI2009] 晨跑 题解2024-05-1919.[SCOI2007] 修车2024-05-1920.acwing329 围栏障碍训练场 题解2024-06-0421.无限之环 题解2024-06-0822.[BZOJ4350] 括号序列再战猪猪侠 题解2024-07-0823.[TJOI2015] 弦论 题解2024-07-1024.[SDOI2008] Sandy的卡片 题解2024-07-1025.[AHOI2013] 差异 题解2024-07-1026.[Ynoi2016] 镜中的昆虫 题解2024-08-1527.[JOISC 2023 Day3] Tourism 题解2024-08-2128.[PA2021] Od deski do deski 题解2024-10-1429.[TJOI2019] 甲苯先生的字符串 题解2024-10-1430.[POI2014] HOT-Hotels 加强版题解2024-10-1631.[Ynoi2015] 盼君勿忘 题解2024-10-2532.[luogu2123] 皇后游戏2024-11-1033.[JXOI2017] 加法 题解2024-11-1034.[luogu1248] 加工生产调度 题解2024-11-1035.[NOIP2018] 赛道修建2024-11-1036.[Ynoi2015] 我回来了 题解2024-11-2937.[HNOI2009] 图的同构计数2024-12-1438.[BZOJ3811] 玛里苟斯 题解2024-12-1439.[BZOJ3569] DZY Loves Chinese II 题解2024-12-1540.[SCOI2016] 幸运数字 题解2024-12-1641.[HDU5603] the soldier of love 题解2024-12-1842.[QOJ8672][PKUSC2024] 排队2024-12-1843.[BZOJ3489] A simple rmq problem2024-12-1944.[HAOI2010] 软件安装 题解2024-12-1945.[IOI2020] 连接擎天树 题解2024-12-2046.[LOJ6669] Nauuo and Binary Tree 题解2024-12-2047.[JOISC2019] 聚会 题解2024-12-2048.[CERC2014] Parades 题解2024-12-2049.[SHOI2017] 摧毁“树状图”2024-12-2150.[NOI2014] 购票 题解2024-12-2351.[WC2018] 通道 题解2024-12-2452.[BZOJ2741][FOTILE模拟赛] L 题解2024-12-2453.[THUSC2015] 异或运算 题解2024-12-2454.[BZOJ4771] 七彩树 题解2024-12-2555.[BZOJ4605] 崂山白花蛇草水 题解2024-12-2956.[BZOJ3600] 没有人的算术 题解2024-12-3057.[WC2014] 紫荆花之恋 题解01-0558.[SDOI2008] 洞穴勘测 题解01-0659.[POJ3237] 树的维护 题解01-0660.[国家集训队] Tree2 题解01-0861.[WC2006] 水管局长 题解01-0862.[BZOJ3514] [Codechef MARCH14] GERALD07加强版 题解01-0863.[luogu4114] Qtree1 题解01-0864.[THUWC2017] 在美妙的数学王国中畅游 题解（内附求导小技巧）01-0965.[BZOJ3159] 决战 题解01-0966.[BZOJ2194] 快速傅立叶之二 题解01-1867.[ZJOI2014] 力 题解01-1868.[BZOJ3451] Normal 题解01-1869.[BZOJ3771] Triple 题解01-1970.[BZOJ3160] 万径人踪灭 题解01-2071.[SDOI2015] 序列统计 题解01-2172.[联合省选 2020A] 组合数问题 题解01-2373.[HDU4625] JZPTREE+[国家集训队] Crash 的文明世界 题解01-2374.[TJOI/HEOI2016] 求和 题解01-23

75.[BZOJ5093] 图的价值 题解01-23

76.[FJOI2016] 建筑师 题解01-2377.[BZOJ4665] 小w的喜糖 题解01-2378.[BZOJ3622] 已经没有什么好害怕的了 题解01-2379.[BZOJ4671] 异或图 题解01-2380.[BZOJ4833] 最小公倍佩尔数 题解01-2381.[BalticOI 2022] Uplifting Excursion (Day1) 题解02-2182.[JLOI2016] 成绩比较 题解02-25

收起

考虑计算一个点的贡献，最后 \(\times n\) 即为所求。

显然一个点的贡献为 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}ii^k2^{\frac{(n-1)(n-2)}2}\)，则有：

\[\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}ii^k2^{\frac{(n-1)(n-2)}2}=2^{\frac{(n-1)(n-2)}2}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline j}\binom{n-1}i \]

\[=2^{\frac{(n-1)(n-2)}2}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=0}^{n-1}i^{\underline j}\binom{n-1}i \]

\[=2^{\frac{(n-1)(n-2)}2}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}(n-1)^{\underline j}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-j-1}{i-j} \]

\[=2^{\frac{(n-1)(n-2)}2}\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}(n-1)^{\underline j}2^{n-j-1} \]

利用第二类斯特林数·行的做法求解 \(\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\) 即可做到 \(O(k\log k)\) 的时间复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=6e5+5,p=998244353;
namespace NTT{
    int rev[N],mx,k,qp;
    struct dft{int fg[N];};
    int qpow(int x,int y){
        int re=1;
        while(y){
            if(y&1) re=re*x%p;
            x=x*x%p,y>>=1;
        }return re;
    }void init(int n){
        mx=1,k=0,rev[0]=0;
        while(mx<=n) mx*=2,k++;
        for(int i=0;i<mx;i++)
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
        qp=qpow(mx,p-2);
    }void ntt(dft &a,int fl){
        for(int i=0;i<mx;i++)
            if(i<rev[i]) swap(a.fg[i],a.fg[rev[i]]);
        for(int i=1;i<mx;i*=2){
            int om=qpow(fl?3:(p+1)/3,(p-1)/(i<<1));
            for(int j=0,w=1;j<mx;j+=i*2,w=1)
                for(int k=j;k<j+i;k++,w=w*om%p){
                    int x=a.fg[k],y=w*a.fg[k+i]%p;
                    a.fg[k]=(x+y)%p,a.fg[k+i]=(x-y+p)%p;
                }
        }if(fl) return;
        for(int i=0;i<mx;i++)
            a.fg[i]=a.fg[i]*qp%p;
    }
}using namespace NTT;
int n,m;dft f,g;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m,init(m*2+1);
    for(int i=0,jc=1;i<=m;i++,jc=jc*i%p){
        f.fg[i]=(1-i%2*2)*qpow(jc,p-2);
        g.fg[i]=qpow(i,m)*qpow(jc,p-2)%p;
    }ntt(f,1),ntt(g,1);
    for(int i=0;i<mx;i++)
        f.fg[i]=f.fg[i]*g.fg[i]%p;
    ntt(f,0);int ans=0;
    for(int i=0,dw=1;i<=m;i++,dw=dw*(n-i)%p)
        ans=(ans+f.fg[i]*dw%p*qpow(2,n-i-1))%p;
    ans=ans*qpow(2,(n-3)*n/2+1)%p*n%p;
    return cout<<ans,0;
}