下降幂

注：这里其实还有上升幂。

定义

下降幂：\(x^{\underline{k}}=\prod\limits_{i=x-k+1}^xi=\frac{x!}{(x-k)!}\)
上升幂：\(x^{\overline{k}}=\prod\limits_{i=x}^{x+k-1}i=\frac{(x+k-1)!}{(x-1)!}\)

性质

幂相加：

上升幂、下降幂转化：

组合数、下降幂转化：

组合数转换：

下降幂、组合数相乘：

普通幂的牛顿二项式定理和下降幂、上升幂的二项式定理：

在微积分中的运用

大坑待补……

斯特林数

第二类斯特林数

定义

定义 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示将 \(n\) 个数分到 \(m\) 个两两相同的集合中的方案数。我们称他为第二类斯特林数。

递推公式

考虑我们新加入一个数产生的贡献。

1. 放入一个新的集合。那么原先就有 \(m-1\) 个集合，产生 \(\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}\) 的贡献。
2. 放入原先的 \(m\) 个集合中。那么有 \(m\) 种可能的方法，产生 \(m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}\) 的贡献。

所以 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}\)。

通项公式

考虑容斥。由于两两相同的集合并不好处理，因此我们先让集合两两不同，最后再将算出的答案 \(\times\frac 1{k!}\) 即可。

设 \(f(x)\) 表示至少有 \(x\) 个空集合的情况，则有：

设 \(g(x)\) 表示恰好有 \(x\) 个空集合的情况，则有：

容易发现 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\dfrac{g(0)}{m!}\)，则有：

性质

普通幂转上升幂：

普通幂转下降幂：

通常第二种情形在组合数学中更常用，经常与 \(\binom nkk^{\underline i}=\binom{n-i}{k-i}n^{\underline i}\) 配套使用，用来提出下降幂。

第二类斯特林数·行

斯特林数中，一行指数的数量相同，一列指集合或圆排列数量相同。
对于第二类斯特林数·行这个问题，当然可以使用递推式 \(O(n^2)\) 求解，但是太慢了，考虑 NTT。

一眼 NTT 经典形态，\(O(n\log n)\) 光速解决。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=6e5+5,p=167772161;
namespace NTT{
    int rev[N],mx,k,qp;
    struct dft{int fg[N];};
    int qpow(int x,int y){
        int re=1;
        while(y){
            if(y&1) re=re*x%p;
            x=x*x%p,y>>=1;
        }return re;
    }void init(int n){
        mx=1,k=0,rev[0]=0;
        while(mx<=n) mx*=2,k++;
        for(int i=0;i<mx;i++)
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
        qp=qpow(mx,p-2);
    }void ntt(dft &a,int fl){
        for(int i=0;i<mx;i++)
            if(i<rev[i]) swap(a.fg[i],a.fg[rev[i]]);
        for(int i=1;i<mx;i*=2){
            int om=qpow(fl?3:(p+1)/3,(p-1)/(i<<1));
            for(int j=0,w=1;j<mx;j+=i*2,w=1)
                for(int k=j;k<j+i;k++,w=w*om%p){
                    int x=a.fg[k],y=w*a.fg[k+i]%p;
                    a.fg[k]=(x+y)%p,a.fg[k+i]=(x-y+p)%p;
                }
        }if(fl) return;
        for(int i=0;i<mx;i++)
            a.fg[i]=a.fg[i]*qp%p;
    }
}using namespace NTT;
int n;dft f,g;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n,init(n*2+1);
    for(int i=0,jc=1;i<=n;i++,jc=jc*i%p){
        f.fg[i]=(1-i%2*2)*qpow(jc,p-2);
        g.fg[i]=qpow(i,n)*qpow(jc,p-2)%p;
    }ntt(f,1),ntt(g,1);
    for(int i=0;i<mx;i++)
        f.fg[i]=f.fg[i]*g.fg[i]%p;
    ntt(f,0);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        cout<<f.fg[i]<<" ";
    return 0;
}

第二类斯特林数·列

大坑待补……

第一类斯特林数

注：第一类斯特林数没有实用的通项公式。

定义

定义 \(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) 表示将 \(n\) 个数分到 \(m\) 个两两相同的圆排列中的方案数。我们称他为第一类斯特林数。

递推公式

考虑我们新加入一个数产生的贡献。

1. 放入一个新的圆排列。那么原先就有 \(m-1\) 个圆排列，产生 \(\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}\) 的贡献。
2. 放入原先的 \(m\) 个集合中。那么有 \(n-1\) 种可能的方法，产生 \((n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\) 的贡献。

所以 \(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\)。

性质

上升幂转普通幂：

下降幂转普通幂：

第一类斯特林数·行

大坑待补……

第一类斯特林数·列

大坑待补……

斯特林反演

先放公式：

两个证明相似，这里只证明第一个。考虑：

由于等式两端恒等，所以满足：

假如我们分解的是 \(m^{\underline n}\)，那么会有：

现在我们就可以开始证明反演公式了：

当 \(g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}f(i)\) 时，有：

那我们就完成了右到左的推导。假如 \(f(n)=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}g(i)\) 的话，那么有：

换元就和上面一样了。
另外一个公式也差不多，于是我们就证明了斯特林反演公式：