[CF1981E] Turtle and Intersected Segments 题解

好题好题。

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难点在建图，因为图的边数将会决定最小生成树的时间复杂度。我们肯定希望能够只建 \(O(n)\) 级别的边，这样时间复杂度就可以做到 \(O(n\log n)\)。

观察到当 \(i,j,k\) 三个区间能够互相连边时（这里假设 \(a_i<a_j<a_k\)），我们绝对不会连 \((i,k)\) 这条边。

那么假如我们将所有区间按 \(a\) 值大小从小到大排序，每次将当前区间与该区间中所有颜色连边，然后再将这个区间染上新颜色，我们就能保证不会连上述所谓的 \((i,k)\) 边。这很明显是可以珂学解决的。

考虑证明珂朵莉树时间复杂度正确性（实际上也是在证明边数正确性）。

假设原先有 \(x\) 个颜色段，若连 \(y\) 条边，则至少减少 \(y-3\) 个颜色段（除最左边的颜色和最右边的颜色外，中间所有颜色块都一定会被删去，同时全部更新为一个新的颜色段），假如 \(y\) 很小，那么本次操作的单次时间复杂度可忽略不计；假如 \(y\) 很大，则本次操作减少的颜色段数将与花费的时间复杂度在一个量级，就相当于这些参与连边操作的颜色段将不会再次花费时间复杂度，总体时间复杂度依旧正确。

所以我们 极端口胡的 证明了边数级别就是 \(O(n)\)，那么珂朵莉树时间复杂度就是 \(O(n\log n)\)。

最小生成树就不用说了。

最终时间复杂度 \(O(n\log n)\)，可以通过。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e6+5;
int t,n,m,k,ans,fa[N];
struct edge{int x,y,w;}ed[N];
struct line{int l,r,a;}ln[N];
int cmp(edge x,edge y){
	return x.w<y.w;
}int cmp2(line x,line y){
	return x.a<y.a;
}struct odt{
	int l,r;
	mutable int v;
	bool operator<(const odt &c)const{
		return l<c.l;
	}
};set<odt>st;
#define iter set<odt>::iterator
struct chtholly{
	iter spilt(int x){
		iter it=st.lower_bound({x,0,0});
		if(it!=st.end()&&(*it).l==x) return it;
		it--;if((*it).r<x) return st.end();
		int l=(*it).l,r=(*it).r,v=(*it).v;
		st.erase(it);st.insert({l,x-1,v});
		return st.insert({x,r,v}).first;
	}void assign(int l,int r,int v){
		iter tr=spilt(r+1),tl=spilt(l);
		st.erase(tl,tr);st.insert({l,r,v});
	}void con(int l,int r,int id){
		iter tr=spilt(r+1),tl=spilt(l);
		for(iter it=tl;it!=tr;it++) if((*it).v)
			ed[++m]={id,(*it).v,ln[id].a-ln[(*it).v].a};
	}
}seniorious;
void init(){
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}int find(int x){
	return fa[x]=(fa[x]==x?x:find(fa[x]));
}void solve(){
	cin>>n,init(),m=ans=0,k=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>ln[i].l>>ln[i].r>>ln[i].a;
	sort(ln+1,ln+n+1,cmp2);
	st.clear(),st.insert({1,(int)1e9,0});
	for(int i=1;i<=n;i++){
		seniorious.con(ln[i].l,ln[i].r,i);
		seniorious.assign(ln[i].l,ln[i].r,i);
	}sort(ed+1,ed+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=find(ed[i].x);
		int y=find(ed[i].y);
		if(x==y) continue;
		k--,fa[x]=y,ans+=ed[i].w;
		if(k==1){
			cout<<ans<<"\n";
			return;
		}
	}cout<<"-1\n";
}signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0); 
	cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
}/*
In this world where the sun dips in the west.
Set in the heavenly forest.
When this war is over.
The people who do not return and the multitudes who look on.
In the name of justice.
A past that will never die,The fading future.
I'm back.Even if the sun is fading.
Even if I can't see the future.
The light of this moment.
I hope you won't forget.
---- The Happiest Girl in the World
*/