珂朵莉树总结

第一次接触珂朵莉树是 \(2024.8.15\) 的那场考试，我当时就感觉我非常高兴，感觉很暴力。（然后那道题叫镜中的昆虫，意识到了自己的愚蠢。）

然后就趁热打铁写篇算法总结吧……

在太阳西斜的这个世界里，置身天上之森。
等这场战争结束之后，不归之人与望眼欲穿的众人。
人人本着正义之名，长存不灭的过去、逐渐消逝的未来。
我回来了，纵使日薄西山，即便看不到未来。
此时此刻的光辉，盼君勿忘。
————世界上最幸福的女孩

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珂朵莉树，又称老司机树（\(Old\ Driver\ Tree,ODT\)）。（所以珂朵莉=老司机？）
珂朵莉树本质上是一个很暴力的东西，主要维护的东西是各种操作搭配区间推平（实际上就是区间赋值）的序列。

那么珂朵莉树是如何实现上述操作的呢？

我们来看下面这个问题：

原题：\(CF896C\)。

给定一个序列，维护区间加、区间推平、求解区间第 \(k\) 小、求解 \(\bmod y\) 意义下区间各数 \(x\) 次方和。保证数据非常随机。

感觉还是很难滴~因为这玩意不管是线段树、平衡树，还是莫队、分块，都似乎没有办法快速求解。

我们将相同的数看成一种颜色，就会发现，原序列形成了一个个颜色段，我们维护颜色段即可。

对于一次推平操作，我们将修改区间分割出来，全部变成推平形成的颜色即可。

而对于其他操作，则更加暴力：取出操作段，对于每个颜色块加值、对于所有颜色块暴力枚举 \(k\) 小值、对于每个颜色块计算区间和就行了……

颜色段我们可以用 \(set\) 维护。

乍看上去感觉时间复杂度直接爆炸，但是可以证明时间复杂度正确，为 \(O(n\log n)\)。

\(10.11\)

由于语文作文写珂朵莉树，拿到了不错的分数，所以再写一点东西吧。

1. 如何优雅的欺负珂朵莉
   实际上很简单，就是不推平。
   这样的话很快就可以让珂朵莉树时间复杂度爆炸。

2. 为什么珂朵莉树时间复杂度随即状况下十分优秀。
   这个可以看 这篇题解。证的非常好。

//中国珂学院 SNGXYZ 分院 OI 科第三办公室研究员 LYH
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5,M=2e6+5;
int n,m,seed,vmax;
int qpow(int x,int y,int p){
	int re=1;
	while(y){
		if(y&1) re=re*x%p;
		x=x*x%p;y>>=1;
	}return re;
}struct odt{
	int l,r;
	mutable int v;
	bool operator<(const odt &c)const{
		return l<c.l;
	}
};set<odt>st;
#define iter set<odt>::iterator
struct chtholly{
	iter spilt(int x){
		iter it=st.lower_bound({x,0,0});
		if(it!=st.end()&&(*it).l==x) return it;
		it--;if((*it).r<x) return st.end();
		int l=(*it).l,r=(*it).r,v=(*it).v;
		st.erase(it);st.insert({l,x-1,v});
		return st.insert({x,r,v}).first;
	}void assign(int l,int r,int v){
		iter tr=spilt(r+1),tl=spilt(l);
		st.erase(tl,tr);st.insert({l,r,v});
	}void add(int l,int r,int v){
		iter tr=spilt(r+1),tl=spilt(l);
		for(iter it=tl;it!=tr;it++) (*it).v+=v;
	}int minn(int l,int r,int k){
		priority_queue<pair<int,int> >q;
		iter tr=spilt(r+1),tl=spilt(l);int sum=0;
		for(iter it=tl;it!=tr;it++)
			q.push({-(*it).v,(*it).r-(*it).l+1});
		while(q.size()){
			sum+=q.top().second;
			if(sum>=k) return -q.top().first;
			q.pop();
		}
	}int sum(int l,int r,int x,int y){
		iter tr=spilt(r+1),tl=spilt(l);int re=0;
		for(iter it=tl;it!=tr;it++)
			re=(re+((*it).r-(*it).l+1)*qpow((*it).v%y,x,y)%y)%y;
		return re%y;
	}
}seniorious;
int rnd(){
	int re=seed;
	seed=(seed*7+13)%1000000007;
	return re;
}signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>seed>>vmax;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		st.insert({i,i,rnd()%vmax+1});int id=0;
	while(m--){
		int opt,l,r,x,y;
		opt=rnd()%4+1;
		l=rnd()%n+1;
		r=rnd()%n+1;
		if(l>r) swap(l,r);
		if(opt==1){
			x=rnd()%vmax+1;
			seniorious.add(l,r,x);
		}if(opt==2){
			x=rnd()%vmax+1;
			seniorious.assign(l,r,x);
		}if(opt==3){
			x=rnd()%(r-l+1)+1;
			cout<<seniorious.minn(l,r,x)<<"\n";
		}if(opt==4){
			x=rnd()%vmax+1;y=rnd()%vmax+1;
			cout<<seniorious.sum(l,r,x,y)<<"\n";
		}
	}return 0;
}/*
在太阳西斜的这个世界里，置身天上之森。
等这场战争结束之后，不归之人与望眼欲穿的众人。
人人本着正义之名，长存不灭的过去、逐渐消逝的未来。
我回来了，纵使日薄西山，即便看不到未来。
此时此刻的光辉，盼君勿忘。
————世界上最幸福的女孩
*/

有两个重点：

1. 必须先 \(spilt(r+1)\)。

2. 珂朵莉树优秀的时间复杂度是建立在随机数据的基础上的。