[ARC148C] Lights Out on Tree 题解

在考场遇到了这道题，感觉很有意思。

当时直接想到的就是虚树，可惜打挂了。

后来改对了，写篇题解纪念一下。

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首先看到 \(\sum M_i\le 2\times 10^5\)，很容易想到虚树的数据范围。

我们设 \(dp_i,fg_i\) 表示将 \(i\) 的子树全部染白或染黑需要多少次，\(vis_i=1/2\) 表示该点为黑 \(/\) 白，则有：

\[\begin{cases}\begin{cases} dp_i=\sum fg_j+1\\ fg_i=\sum fg_j \end{cases}(vis_x=1)\\\\\begin{cases} dp_i=\sum dp_j\\ fg_i=\sum dp_j+1\end{cases}(vis_x=2)\end{cases} \]

很容易发现，假如在虚树上的父子在原树上且父亲为黑点，则有：

\[\begin{cases} dp_i=\sum dp_j+sz_i+1\\ fg_i=\sum dp_j+sz_i \end{cases} \]

其中 \(sz_i\) 表示节点儿子数。加之在虚树上，儿子不一定都在，所以原先的方程改为：

\[\begin{cases}\begin{cases} \begin{cases} dp_i=\sum (fg_j-1)+sz_i+1\\ fg_i=\sum (fg_j-1)+sz_i \end{cases}(fa_j=i)\\\\ \begin{cases} dp_i=\sum dp_j+sz_i+1\\ fg_i=\sum dp_j+sz_i \end{cases}(fa_j\ne i) \end{cases}(vis_x=1)\\\\ \begin{cases}dp_i=\sum dp_j\\fg_i=\sum dp_j+1\end{cases}(vis_x=2)\end{cases} \]

我用 \(\text{lca}\) 建虚树，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=4e5+5;
int n,q,rt,d,dep[N],c[N];
int id,f[N][25],dfn[N];
int dp[N],fg[N],vis[N];
vector<int>g[N],ve[N];
int cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}void dfs(int x,int fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	f[x][0]=fa;dfn[x]=++id;
	for(int i=0;i<24;i++)
		f[x][i+1]=f[f[x][i]][i];
	for(int i=0;i<g[x].size();i++)
		dfs(g[x][i],x);
}int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=24;~i;i--)
		if(dep[x]-dep[y]>=(1<<i))
			x=f[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=24;~i;i--)
		if(f[x][i]!=f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}void build(){
	if(!vis[1]) vis[c[++d]=1]=2;
	int dd=d;sort(c+1,c+d+1,cmp);
	for(int i=1;i<dd;i++){
		int lc=lca(c[i],c[i+1]);
		if(vis[lc]) continue;
		vis[lc]=2;c[++d]=lc;
	}sort(c+1,c+d+1,cmp);
	for(int i=1;i<d;i++){
		int x=c[i],y=c[i+1];
		int lc=lca(x,y);
		ve[lc].push_back(y);
	}
}void dp_(int x){
	for(int i=0;i<ve[x].size();i++){
		int y=ve[x][i];dp_(y);
		if(vis[x]==1){
			if(f[y][0]==x)
				fg[x]+=fg[y]-1,dp[x]+=fg[y]-1;
			else fg[x]+=dp[y],dp[x]+=dp[y];
			continue;
		}dp[x]+=dp[y];fg[x]+=dp[y];
	}if(vis[x]==1){
		dp[x]+=g[x].size();
		fg[x]+=g[x].size();
		dp[x]+=1;
	}else fg[x]+=1;
}int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>q;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int fa;cin>>fa;
		g[fa].push_back(i);
	}dfs(1,0);
	while(q--){
		for(int i=1;i<=d;i++){
			ve[c[i]].clear();
			dp[c[i]]=fg[c[i]]=0;
			vis[c[i]]=0;
		}cin>>d;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			cin>>c[i],vis[c[i]]=1;
		build();dp_(1);
		cout<<dp[1]<<"\n";
	}return 0;
}