[BZOJ3786] 星系探索 题解
题目链接：\(BZOJ\)
本题通过 \(dyf\_DYF\) 的题解理解 \(ETT\)，代码则借鉴 \(lcyfrog\) 的题解，图片则使用了何太狼的题解。在此笔者感谢这三位神犇。
声明变量：
\(ls\)：左儿子
\(rs\)：右儿子
\(sz\)：子树大小
\(rk\)：对应堆值
\(fa\)：节点父亲
\(sm\)：子树权值和
\(p\)：\(1/-1\) 表示 第一个欧拉序/第二个欧拉序，下面会讲
\(w\)：该节点自身权值
\(tp\)：子树 \(p\) 之和
\(tg\)：懒标记
零、题目大意
给你一颗有根树，需要完成以下三个操作：
- 计算一个点到根节点路径上的权值和
- 将一颗子树权值全部增加一个定值
- 将一颗子树接到另一个节点下面
一、前置知识：欧拉序
欧拉序有两种，我们分开来讲：
(1)第一类欧拉序
考虑用 \(dfs\) 的走法走满整棵树，每到一个节点欧拉序末尾加一个数。
不过，与 \(dfs\) 序不同的是，每遍历完一棵子树后，就得再加一次。
心动不如画图，我们可以通过这张图来理解：
根据图中走法，很容易得出欧拉序为：\(1,2,4,7,4,8,4,9,4,2,5,2,1,3,6,3,1\)，可以发现，有 \(2n-1\) 个节点。
这种欧拉序可以快速求出两点最近公共祖先，但与此题无关，关键在第二个。
(2)第二类欧拉序
与上一类不同的是，本类欧拉序是在进入和离开时在末尾增加。
再来一张图：
欧拉序为：\(1,2,4,7,7,8,8,9,9,4,5,5,2,3,6,6,3,1\)，有 \(2n\) 个节点。
二、初步思考
我们发现本题要求从一个点到根的路径上的权值和，还有子树加，于是考虑可爱的欧拉序。
发现假如将第二类欧拉序中，离开时增加的节点们全部标记为负，欧拉序维护权值，那么从 \(x\) 到根节点的权值和即为从第一个节点到 \(x\) 第一次出现的位置的和。
这下，我们就可以把树上问题转化为序列问题了。
在这里，我们再声明两个变量，以方便叙述：
\(dfn\)：第一次出现位置
\(low\)：第二次出现位置
那么对 \(x\) 子树加上 \(y\) 就可以变成在 \(dfn[x]+y\)，在 \(low[x]-y\)。
三、加入平衡树
考虑将一个子树接在另一个点上的操作。
发现在移动 \(x\) 的子树接到 \(y\) 下时，只是将 \([dfn[x],low[x]]\) 移动到了 \(dfn[y]\) 后（大家可以自行模拟）。
移动区间位置，单点修改，区间查询，不是线段树，只能是平衡树了。
支持区间操作的平衡树，有 \(fhq\ treap\) 和 \(splay\) 两种，前者似乎更方便一些，因此笔者用了 \(fhq\ treap\)。
当然，如果你对 \(splay\) 有着深厚的情感，你也可以看 \(dyf\_DYF\) 对于 \(splay\) 方法的讲解。
四、标程
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ls(x) pl[x].ls
#define rs(x) pl[x].rs
#define sz(x) pl[x].sz
#define rk(x) pl[x].rk
#define fa(x) pl[x].fa
#define sm(x) pl[x].sm
#define p(x) pl[x].p
#define w(x) pl[x].w
#define tp(x) pl[x].tp
#define tg(x) pl[x].tg
#define N 300005
using namespace std;
struct fhq{
int ls,rs,sz,rk,fa;
ll sm,p,w,tp,tg;
}pl[N];int fhq_fail,dfn[N],low[N],f;
int make_node(int x,int y){
int a=++fhq_fail;
sz(a)=1;w(a)=sm(a)=x*y;
rk(a)=rand();p(a)=tp(a)=y;
return a;
}struct fhq_treap{
int rt;fhq_treap(){rt=0;}
void pushup(int pp){
sz(pp)=sz(ls(pp))+sz(rs(pp))+1;
tp(pp)=tp(ls(pp))+tp(rs(pp))+p(pp);
sm(pp)=sm(ls(pp))+sm(rs(pp))+w(pp);
if(ls(pp)) fa(ls(pp))=pp;
if(rs(pp)) fa(rs(pp))=pp;
}void tag(int q,ll pp){
w(q)+=p(q)*pp;
sm(q)+=tp(q)*pp;
tg(q)+=pp;
}void pushdown(int pp){
if(!tg(pp)) return;
tag(ls(pp),tg(pp));
tag(rs(pp),tg(pp));
tg(pp)=0;
}void spilt(int pp,int a,int &x,int &y){
if(!pp){x=y=0;return;}pushdown(pp);
if(a>sz(ls(pp))) x=pp,spilt(rs(pp),a-sz(ls(pp))-1,rs(x),y);
else y=pp,spilt(ls(pp),a,x,ls(y));pushup(pp);
}int merge(int x,int y){
pushdown(x);pushdown(y);
if(!x||!y) return x+y;
if(rk(x)<rk(y)){
rs(x)=merge(rs(x),y);
pushup(x);return x;
}ls(y)=merge(x,ls(y));
pushup(y);return y;
}int rank(int x){
int re=sz(ls(x))+1;
while(fa(x)){
if(rs(fa(x))==x)
re+=sz(ls(fa(x)))+1;x=fa(x);
}return re;
}void add(int a,ll b){
int x,y,z;
f=1;spilt(rt,rank(dfn[a])-1,x,z);fa(x)=fa(z)=0;f=0;
spilt(z,rank(low[a]),y,z);fa(y)=fa(z)=0;
tag(y,b);rt=merge(merge(x,y),z);fa(rt)=0;
}void work(int a,int b){
int x,y,z;
spilt(rt,rank(dfn[a])-1,x,z);fa(x)=fa(z)=0;
spilt(z,rank(low[a]),y,z);fa(y)=fa(z)=0;
rt=merge(x,z);fa(rt)=0;spilt(rt,rank(dfn[b]),x,z);
rt=merge(merge(x,y),z);fa(rt)=0;
}
}tr;int n,t,b[N];vector<int>g[N];
void dfs(int x){
dfn[x]=make_node(b[x],1);tr.rt=tr.merge(tr.rt,dfn[x]);
for(int i=g[x].size()-1;i>=0;i--) dfs(g[x][i]);
low[x]=make_node(b[x],-1);tr.rt=tr.merge(tr.rt,low[x]);
}signed main(){
srand(20040523);cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++){
int x;cin>>x;
g[x].push_back(i);
}for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
dfs(1);cin>>t;while(t--){
char c;int d;ll e;cin>>c;
if(c=='Q'){
int x,y;cin>>d;
tr.spilt(tr.rt,tr.rank(dfn[d]),x,y);
cout<<sm(x)<<"\n";tr.merge(x,y);
}if(c=='C') cin>>d>>e,tr.work(d,e);
if(c=='F') cin>>d>>e,tr.add(d,e);
}return 0;
}//Kaká
