旋转矩阵
旋转的表示
在三维坐标系中，有三种表达形式
- 旋转矩阵\[ R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} \]
- 旋转角\[ \theta = \begin{pmatrix} \phi & \theta & \psi \end{pmatrix} \]旋转角又称欧拉角，一般情况下旋转角指的是坐标系绕\(x\)轴旋转后，再绕\(y\)轴旋转后，再绕\(z\)轴旋转分别的角度
- 旋转向量\[ r = \begin{pmatrix}r_x & r_y & r_z\end{pmatrix} \\ \theta = norm(r)\]刚体绕旋转轴旋转，\(r\)表示的是旋转轴的方向，\(r\)的长度\(norm(r)\)表示刚体绕轴旋转的角度
旋转向量与旋转矩阵之间的变换
旋转向量与旋转矩阵之间的变换又称为罗德里格斯变换(Rodrigues)
旋转向量变成旋转矩阵
\[ \theta \larr norm(r) \\
r \larr r/\theta
\]
\[ R = \cos{\theta{I}} + (1-\cos{\theta})rr^T + \sin{\theta}
\begin{bmatrix}
0 & -r_z & r_y \\
r_z & 0 & -r_x \\
-r_y & r_x & 0
\end{bmatrix}
\]
旋转矩阵变为旋转向量
\[ \sin{\theta}\begin{bmatrix}
0 & -r_z & r_y \\
r_z & 0 & -r_x \\
-r_y & r_x & 0
\end{bmatrix} = \frac{R-R^T}{2}
\]
\[ \theta = \arccos(\frac{tr(R-I)}{2})
\]
左右手坐标系确定及其旋转正向
这两个问题很容易弄混淆，要确定旋转正向必须先确定是左手坐标系还是右手坐标系。
- 判定坐标系：
- 使用左手，大拇指指向Z轴正向，其余四指由X向Y握起。如果可以达成，则为左手坐标系，否则为右手坐标系。
- 伸出左手，食指朝上，大拇指向右，中指向前，如果X,Y,Z三轴分别与大拇指，食指，中指同向，则为左手坐标系。否则为右手坐标。
- 左手坐标系与右手坐标系的区别仅在：Z轴方向相反。相同点：X向右，Y向上
- 有了坐标系，判断旋转正向：
- 从轴的正方向看向原点，左手坐标系下 ：顺序时针方向即是旋转正向，右手坐标系下：逆时针方向即是旋转正向
- 左手坐标，绕Y轴旋转：左手握住Y轴，四指弯曲的方向就是旋转正向，这里就是由Z轴指向X轴。
若绕Z轴旋转：左手握住Z轴，四指弯曲的方向就是旋转方向，这里是由X轴指向Y轴。
内旋是右乘 外旋是左乘吗
