旋转矩阵

目录

• 旋转的表示
• 旋转向量与旋转矩阵之间的变换
  • 旋转向量变成旋转矩阵
  • 旋转矩阵变为旋转向量
• 左右手坐标系确定及其旋转正向

旋转的表示

在三维坐标系中，有三种表达形式

1. 旋转矩阵
   $$R=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right]$$

2. 旋转角
   $$\theta =\left(\begin{array}{ccc}\varphi & \theta & \psi \end{array}\right)$$
   旋转角又称欧拉角，一般情况下旋转角指的是坐标系绕$x$轴旋转后，再绕$y$轴旋转后，再绕$z$轴旋转分别的角度
3. 旋转向量
   $$\begin{gathered} r=\left(\begin{array}{ccc}{r}_x& r_y& r_z\end{array}\right) \\ \theta =norm(r) \end{gathered}$$
   刚体绕旋转轴旋转，$r$表示的是旋转轴的方向，$r$的长度$norm(r)$表示刚体绕轴旋转的角度

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旋转向量与旋转矩阵之间的变换

旋转向量与旋转矩阵之间的变换又称为罗德里格斯变换(Rodrigues)

旋转向量变成旋转矩阵

$$\begin{gathered} \theta \text{larr}norm(r) \\ r\text{larr}r/\theta \end{gathered}$$

$$R=\cos \theta I+(1-\cos \theta )r{r}^T+\sin \theta \left[\begin{array}{ccc}0& -r_z& r_y\\ r_z& 0& -r_x\\ -r_y& r_x& 0\end{array}\right]$$

旋转矩阵变为旋转向量

$$\sin \theta \left[\begin{array}{ccc}0& -r_z& r_y\\ r_z& 0& -r_x\\ -r_y& r_x& 0\end{array}\right]=\frac{R-R^T}{2}$$

$$\theta =\arccos (\frac{tr(R-I)}{2})$$

左右手坐标系确定及其旋转正向

这两个问题很容易弄混淆，要确定旋转正向必须先确定是左手坐标系还是右手坐标系。

1. 判定坐标系：
   1. 使用左手，大拇指指向Z轴正向，其余四指由X向Y握起。如果可以达成，则为左手坐标系，否则为右手坐标系。
   2. 伸出左手，食指朝上，大拇指向右，中指向前，如果X,Y,Z三轴分别与大拇指，食指，中指同向，则为左手坐标系。否则为右手坐标。
   3. 左手坐标系与右手坐标系的区别仅在：Z轴方向相反。相同点：X向右，Y向上
2. 有了坐标系，判断旋转正向：
   1. 从轴的正方向看向原点，左手坐标系下 ：顺序时针方向即是旋转正向，右手坐标系下：逆时针方向即是旋转正向
   2. 左手坐标，绕Y轴旋转：左手握住Y轴，四指弯曲的方向就是旋转正向，这里就是由Z轴指向X轴。
      若绕Z轴旋转：左手握住Z轴，四指弯曲的方向就是旋转方向，这里是由X轴指向Y轴。

内旋是右乘 外旋是左乘吗