手眼标定原理
Write By Champrin From 2022-11-03 To 2022-11-04.
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参考资料：
外文教程
5.2-手眼标定（外参标定）
要实现由 图像目标点 到 空间实际物体上抓取点 之间的坐标转换，就必须拥有 相机 与 机械臂 之间的位姿转换关系，即手眼关系，因此这种标定就称之为手眼标定。
根据相机固定的地方不同，标定的转换关系也不同，有两种：如果 相机 与 机械臂末端 固定在一起，就称之为“眼在手(eye in hand)”；如果 相机 与 机械臂以外 固定在一起，则称之为“眼在外(eye to hand)”。
总的来说：任意类型的相机标定一定是在标定一个相对不变的量，不会去标定一个变化的量，这会在两种手眼标定所标定的变换矩阵有所体现。
坐标系名称：
base：机械臂基地坐标系gripper：机械臂末端坐标系（夹爪坐标系）cam：相机坐标系target：标定板坐标系（世界坐标系）
眼在手外(Eye To Hand)及其推导
相机固定在机械臂以外的地方，因此 相机 与 机械臂基底 在整个机械臂抓取过程中的相对位置保持不变，手眼标定求解的量为 相机坐标系 相对于 机械臂基底坐标系 的变换矩阵。
这种关系下，几次运动，标定板 和 机械臂末端 的位姿关系始终不变也就是 标定板坐标系 相对于 机械臂末端坐标系 的变换矩阵不变，可以以此建立方程组求解标定结果。
求解目标：
相机坐标系 相对于 机械臂基底坐标系 的变换矩阵 \({^{base}_{cam}T}\)。
实现方法：
- 把标定板固定在机械臂末端
- 使用相机拍摄不同机械臂姿态下的标定板图片\(n\)张\((n>3)\)，建议\(n>10\)
已知对每张图片有：
\[{^{gripper}_{target}T} = {^{gripper}_{base}T}{^{base}_{cam}T}{^{cam}_{target}T}
\]
- \({^{gripper}_{target}T}\)：未知量．由于标定板固定在机械臂末端，所以对每组图片，该变换矩阵都相同
- \({^{gripper}_{base}T}\)：可由机械臂末端位姿参数求得
- \({^{cam}_{target}T}\)：可由通过拍摄的标定板图片直接求解
设标定图为第 \(1 - n\) 张，那么有：
\[ {^{gripper}_{target}T^{(1)}} = {^{gripper}_{target}T^{(2)}} = \cdots = {^{gripper}_{target}T^{(n)}}
\]
\[ {^{gripper}_{base}T^{(1)}} \, {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(1)}} = {^{gripper}_{base}T^{(2)}} \, {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(2)}} \\
{^{gripper}_{base}T^{(2)}} \, {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(2)}} = {^{gripper}_{base}T^{(3)}} \, {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(3)}} \\
\cdots \\
{^{gripper}_{base}T^{(n - 1)}} \, {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(n - 1)}} = {^{gripper}_{base}T^{(n)}} \, {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(n)}} \\
\]
整理得：
\[ {(^{gripper}_{base}T^{(2)})^{(-1)}} \, {^{gripper}_{base}T^{(1)}} \, {^{base}_{cam}T} = {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(2)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(1)})^{(-1)}} \\
{(^{gripper}_{base}T^{(3)})^{(-1)}} \, {^{gripper}_{base}T^{(2)}} \, {^{base}_{cam}T} = {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(3)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(2)})^{(-1)}} \\
\cdots \\
{(^{gripper}_{base}T^{(n)})^{(-1)}} \, {^{gripper}_{base}T^{(n - 1)}} \, {^{base}_{cam}T} = {^{base}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(n)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(n - 1)})^{(-1)}} \\
\]
令：
\[\begin{cases}
{A_i} = {(^{gripper}_{base}T^{(i + 1)})^{(-1)}} \, {^{gripper}_{base}T^{(i)}} \\
{X} = {^{base}_{cam}T} \\
{B_i} = {^{cam}_{target}T^{(i + 1)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(i)})^{(-1)}}
\end{cases} \, , \, i \in [1, n - 1]
\]
得到 \(n\) 个方程组，标定结果转为求解这 \(n\) 个方程组：
\[ {A_i} \, {X} = {X} {B_i} \, , \, i \in [1, n - 1]
\]
眼在手上(Eye In Hand)及其推导
相机固定在机械臂末端，因此 相机 与 机械臂末端 在整个机械臂抓取过程中的相对位置保持不变，手眼标定求解的量为 相机坐标系 相对于 机械臂末端坐标系 的变换矩阵。
这种关系下，几次运动，标定板 和 机械臂基底 的相对位置始终不变，也就是 标定板坐标系 相对于 机械臂基底坐标系 的变换矩阵不变，可以以此建立方程组求解标定结果。
求解目标：
相机坐标系 相对于 机械臂末端坐标系 的变换矩阵 \({^{gripper}_{cam}T}\)
实现方法：
- 把标定板放到固定位置不动
- 移动机械臂末端，从不同角度拍摄 \(n\) 张标定板图片
已知对每张图片有：
\[ {^{base}_{target}T} = {^{base}_{gripper}T} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T}
\]
- \({^{base}_{target}T}\)：未知量，但是由于标定板全程固定在一个位置不动，所以对每组图片，该变换矩阵都相同，所以以此建立方程
- 因此要保证在标定时，机械臂基底与标定板的相对位置不变
- \({^{base}_{gripper}T}\)：可由机械臂末端位姿参数求得
- \({^{cam}_{target}M}\)：可由通过拍摄的标定板图片直接求解
设标定图为第 \(1 - n\) 张，那么有：
\[ {^{base}_{target}T^{(1)}} = {^{base}_{target}T^{(2)}} = \cdots = {^{base}_{target}T^{(n)}}
\]
\[ {^{base}_{gripper}T^{(1)}} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(1)}} = {^{base}_{gripper}T^{(2)}} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(2)}} \\
{^{base}_{gripper}T^{(2)}} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(2)}} = {^{base}_{gripper}T^{(3)}} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(3)}} \\
\cdots \\
{^{base}_{gripper}T^{(n - 1)}} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(n - 1)}} = {^{base}_{gripper}T^{(n)}} \, {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(n)}} \\
\]
整理得：
\[ {(^{base}_{gripper}T^{(2)})^{(-1)}} \, {^{base}_{gripper}T^{(1)}} \, {^{gripper}_{cam}T} = {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(2)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(1)})^{(-1)}} \\
{(^{base}_{gripper}T^{(3)})^{(-1)}} \, {^{base}_{gripper}T^{(2)}} \, {^{gripper}_{cam}T} = {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(3)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(2)})^{(-1)}} \\
\cdots \\
{(^{base}_{gripper}T^{(n)})^{(-1)}} \, {^{base}_{gripper}T^{(n - 1)}} \, {^{gripper}_{cam}T} = {^{gripper}_{cam}T} \, {^{cam}_{target}T^{(n)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(n - 1)})^{(-1)}} \\
\]
令：
\[\begin{cases}
{A_i} = {(^{base}_{gripper}T^{(i + 1)})^{(-1)}} \, {^{base}_{gripper}T^{(i)}} \\
{X} = {^{gripper}_{cam}T} \\
{B_i} = {^{cam}_{target}T^{(i + 1)}} \, {(^{cam}_{target}T^{(i)})^{(-1)}} \\
\end{cases} \, , \, i \in [1, n - 1]
\]
得到 \(n\) 个方程组，标定结果转为求解这 \(n\) 个方程组：
\[ {A_i} \, {X} = {X} {B_i} \, , \, i \in [1, n - 1]
\]
也就是说，无论是眼在手外还是手在眼上，最终都是以 \(n - 1\) 个方程组（若标定图有 \(n\) 张），去求解 \(AX=XB\) 中的 \(X\) 即为手眼标定结果。
\(X\) 即为我们要求得的变换矩阵，里面有6个线性无关的变量；其中旋转 3 个自由度，平移 3 个自由度。
求解 \(AX=XB\)
OpenCV 4.1.0 及以上的版本，带有了求解 \(AX=XB\) 的方法——cv::calibrateHandEye()，调用方法求解即可。
