Ascoli-Arzelà 定理：各种版本

这篇是大一下学期修王枫老师的点集拓扑时抄的笔记.

Ascoli-Arzelà 定理：各种版本

紧空间, 紧致度量空间, 上确界拓扑

设 $X$ 是紧空间, $(Y,d)$ 是紧致度量空间, 赋予 $C(X,Y)$ 上确界度量
^[1]. 则对 $C(X,Y)$ 的子集 $\mathcal{F}$, 准紧$\Leftrightarrow$完全有界$\Leftrightarrow$等度连续.
Proof.
证明是自然的, 关键是从一组"离散"的数据构造一组"连续"的数据. 事实上, $Y$ 的完备性是用在"完全有界$\Rightarrow$准紧", 在"等度连续$\Rightarrow$完全有界"只需要 $Y$ 完全有界, 下面是其证明的概要.

任取 $\varepsilon>0$. 利用 $\mathcal{F}$ 等度连续以及 $X$ 紧, 存在 $x_i\ (1\le i\le n)$ 及其开邻域 $U_i$, 使得 $\forall f\in\mathcal{F},\forall x\in U_i,d(f(x),f(x_i))<\varepsilon$, 且 $\{U_i\}_{1\le i\le n}$ 是 $X$ 的一个开覆盖.
利用 $Y$ 完全有界, 存在 $Y$ 的有限 $\varepsilon$-开球覆盖 $\{B_d(y_j,\varepsilon)\}_{1\le j\le n}$.
对每一个映射 $\alpha:\{1,2,\cdots,m\}\to \{1,2,\cdots,n\}$ (这样的映射只有 $mn$ 个), 考虑函数族

\[ \mathcal{F}_{\alpha}=\{f\in \mathcal{F}:f(U_i)\cap B_d(y_{\alpha(i)},\varepsilon)\neq \varnothing,\forall 1\le i\le n\} \]

若 $\mathcal{F}_{\alpha}$ 非空, 则取出其中一个元素, 记为 $f_{\alpha}$. 容易看出 $\{B_{\rho}(f_{\alpha},\varepsilon):\mathcal{F}_{\alpha}\neq \varnothing\}$ 是 $\mathcal{F}$ 的一个有限 $4\varepsilon$-开球覆盖.

紧空间, 欧式空间, 上确界拓扑

设 $X$ 是紧空间, $\mathbb{R}^n$ 是欧式空间, 赋予 $C(X,\mathbb{R}^n)$ 上确界度量. 则对 $C(X,\mathbb{R}^n)$ 的子集 $\mathcal{F}$, 准紧$\Leftrightarrow$完全有界$\Leftrightarrow$等度连续+有界$\Leftrightarrow$等度连续+逐点有界 ^[2].

Proof.
显然此时"准紧$\Rightarrow$完全有界$\Rightarrow$等度连续+有界$\Rightarrow$等度连续+逐点有界". 下证"等度连续+逐点有界$\Rightarrow$准紧", 想法是化归到 [*紧空间, 紧致度量空间, 上确界拓扑}] 版本的 Ascoli-Arzelà 定理. 只要证明存在 $\mathbb{R}^n$ 的紧子集 $Z$ 使得 $\mathcal{G}\subset C(X,Z)$, 其中 $\mathcal{G}\subset \overline{\mathcal{F}}$. 记 $\mathcal{G}_a=\{g(a):g\in \mathcal{G}\}$. 注意到取值映射 $\text{ev}_a:C(X,Y)\to Y$ 连续, 有 $\text{ev}_a(\overline{\mathcal{F}})\subset \overline{\text{ev}_a(\mathcal{F})}$, 即 $\mathcal{G}_a\subset \overline{\mathcal{F}_a}$. 由 $\mathcal{F}$ 逐点有界知 $\overline{\mathcal{F}_a}$ 是欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭集, 从而紧, 于是 $\overline{\mathcal{G}_a}$ 是紧空间的闭子集, 因此 $\overline{\mathcal{G}_a}$ 紧, 特别地, $\mathcal{G}_a$ 有界. 由 $\mathcal{F}$ 等度连续知 $\mathcal{G}$ 等度连续, 结合 $X$ 的紧性不难证明 $\mathcal{G}$ 有界.

紧空间, 度量空间, 上确界拓扑

设 $X$ 是紧空间, $(Y,d)$ 是度量空间, 赋予 $C(X,Y)$ 上确界度量. 则对 $C(X,Y)$ 的子集 $\mathcal{F}$, 准紧$\Leftrightarrow$等度连续+逐点准紧 ^[3].
Proof.
必要性 设 $\mathcal{F}$ 准紧, 记 $\mathcal{G}=\overline{\mathcal{F}}$, 则 $\mathcal{G}$ 紧$\Rightarrow$ $\mathcal{G}$完全有界$\Rightarrow$ $\mathcal{F}$ 完全有界$\Rightarrow$ $\mathcal{F}$ 等度连续. 对任意 $a\in X$, 记 $\mathcal{G}_a=\{g(a):g\in\mathcal{G}\}$. 则 $\mathcal{G}_a=\text{ev}_a(\mathcal{G})$ 是紧集 $\mathcal{G}$ 在连续映射 $\text{ev}_a:C(X,Y)\to Y$ 下的像, 从而是 Hausdorff 空间 $Y$ 的紧子集, 因此 $\mathcal{G}_a$ 在 $Y$ 中闭, 有 $\overline{\mathcal{F}_a}\subset \overline{\mathcal{G}_a}=\mathcal{G}_a$, 从而 $\overline{\mathcal{F}_a}$ 是紧空间的闭子集, 故 $\overline{\mathcal{F}_a}$ 紧.

充分性 设 $\mathcal{F}$ 等度连续且逐点准紧, 往证 $\overline{\mathcal{F}}$ 紧. 由于 $B_d(f(x),\varepsilon)$ 是 $Y$ 上的拓扑的基元素, 由积拓扑的定义知

\[ V_{f,(x_i,\varepsilon_i)_{1\le i\le n}}=\bigcap_{1\le i\le n}\pi_{x_i}^{-1}(B_d(f(x_i),\varepsilon_i)) \]

是积空间 $Y^X$ 上的拓扑的基元素 (即 $Y^X$ 上点态收敛拓扑的基元素).

设 $\mathcal{H}$ 是 $\mathcal{F}$ 在积空间 $Y^X$ 中的闭包. 对任意 $a\in X$, 记 $\mathcal{H}_a=\{h(a):h\in \mathcal{H}\}$. 对任意 $a\in X$ 以及 $\varepsilon>0$, 注意到 $\forall h\in \mathcal{H}, V_{h,(a,\varepsilon)}\cap\mathcal{F}\neq\varnothing$, 存在 $f\in\mathcal{F}$ 使得 $f(a)\in B_d(h(a),\varepsilon)$, 因此 $\mathcal{H}_a\subset \overline{\mathcal{F}_a}$.

因为每个 $\overline{\mathcal{F}_a}$ 都是 $Y$ 中紧集, 由 Tychonoff 定理, 积空间 $\prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a}$ 是紧的, 即它是积空间 $Y^X$ 的紧子空间. 又 Hausdorff 空间 $Y$ 的积空间 $Y^X$ 是 Hausdorff 的, 有 $\prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a}$ 在 $Y^X$ 中闭. 因此

\[ \mathcal{H}=\prod_{a\in X}\mathcal{H}_a\subset \prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a} \]

是紧空间的闭子集, 从而 $\mathcal{H}$ 作为 $\prod_{a\in X}\overline{\mathcal{F}_a}$ 的子空间是紧的, 即 $\mathcal{H}$ 作为积空间 $Y^X$ 的子空间是紧的.

下证 $\mathcal{H}\subset C(X,Y)$ 且 $\mathcal{H}$ 等度连续. 任取 $a\in X$ 以及 $\varepsilon>0$, 由 $\mathcal{F}$ 在 $a$ 处等度连续知存在 $a$ 的开邻域 $U_a$ 使得 $\forall f\in \mathcal{F},\forall x\in U_a,d(f(x),f(a))<\varepsilon/3$. 对任意 $h\in\mathcal{H}$ 以及 $x\in U_a$, 由于 $V_h=V_{h,(x,\varepsilon/3)}\cap V_{h,(a,\varepsilon/3)}$ 是 $h$ 的开邻域, 有 $\mathcal{F}\cap V_h\neq\varnothing$, 即存在 $f\in \mathcal{F}$ 使得 $d(h(x),f(x))<\varepsilon/3,d(h(a),f(a))<\varepsilon/3$, 从而

\[ d(h(x),h(a))\le d(h(x),f(x))+d(f(x),f(a))+d(f(a),h(a))<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon \]

因此 $\mathcal{H}\subset C(X,Y)$ 且 $\mathcal{H}$ 等度连续.

最后, 利用 $\mathcal{H}$ 的等度连续性和 $X$ 的紧性容易证明

\[ \text{($\mathcal{H}$ 作为积空间 $Y^X$ 的子空间)}=\text{($\mathcal{H}$ 作为 $C(X,Y)$ 的子空间)} \]

特别地, $\mathcal{H}$ 作为 Hausdorff 空间 $C(X,Y)$ 的子空间是紧的, 从而也是闭的. 注意到集合之间的包含关系 $\mathcal{F}\subset \mathcal{H}$, 两边在 $C(X,Y)$ 中取闭包得

\[ \overline{\mathcal{F}}\subset \text{($\mathcal{H}$ 在 $C(X,Y)$ 中的闭包)}=\mathcal{H} \]

从而 $\overline{\mathcal{F}}$ 是紧空间 $\mathcal{H}$ 的闭子集, 因此是紧的.

拓扑空间, 度量空间, 紧收敛拓扑

设 $X$ 是拓扑空间, $(Y,d)$ 是度量空间, 赋予 $C(X,Y)$ 紧收敛拓扑. 则对 $C(X,Y)$ 的子集 $\mathcal{F}$, 等度连续+逐点准紧$\Rightarrow$准紧. 若上述 $X$ 是局部紧 Hausdorff 空间，则逆命题也成立.

[记为 $\rho$, 即 $\rho(f,g)=\sup\limits_{x\in X}d(f(x),g(x)),\forall f,g\in C(X,Y)$. 注意当 $X$ 是紧空间时 $C(X,Y)$ 上的一致度量 $\overline{\rho}$ 正是上确界度量 $\rho$ 对应的标准有界度量, 这是我们对一致度量采用记号 $\overline{\rho}$ 的原因.] ↩︎
[即对任意 $a\in X$, $\mathcal{F}_a=\{f(a):f\in \mathcal{F}\}$ 在 $Y$ 中有界.] ↩︎
[即对任意 $a\in X$, $\mathcal{F}_a=\{f(a):f\in \mathcal{F}\}$ 在 $Y$ 中准紧.] ↩︎

posted @ 2023-02-06 02:33 ChaliceSeven 阅读(271) 评论(0) 编辑收藏举报

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